[组合] 电脑输出2012个数字之和（输出1或2）能被3整除的概率

电脑每秒钟以相同的概率输出数字1或者2，一共输出了2012个数字。则这2012个数字之和被3整除的概率是多少？其概率能大于$\dfrac13$吗？

看不懂题

1# yes94
输出的1和2一样多吗

2# 李斌斌755
电脑每隔一秒钟的时间等可能的输出一个数字1或者2，一共输出了2012次，共2012输出了个数字（1或2）。

4# yes94
还是不明白

坐沙发

3# 李斌斌755
不一定一样多啊？
但是当电脑输出的次数$n$趋向于无穷大的时候，1或者2就基本上是一样多的了
另外，将2012次，改为2013次，其和被3整除的概率能大于$\dfrac13$吗？

设等可能地输出 $n$ 个 1 或 2 之和为 $3k$ 的概率为 $a_n$，为 $3k+1$ 的概率为 $b_n$，为 $3k+2$ 的概率为 $c_n$。
考虑 $a_{n+1}$，即 $n+1$ 个 1 或 2 之和为 $3k$ 的情形发生，这只能有两种“路径”，即 $n$ 个之和为 $3k+1$ 型时再输出 2，以及 $n$ 个之和为 $3k+2$ 型时再输出 1，而输出 1 或 2 等可能，故 $a_{n+1}=0.5b_n+0.5c_n$。同理可得 $b_{n+1}=0.5c_n+0.5a_n$，$c_{n+1}=0.5a_n+0.5b_n$。
通项暂时不求，因为不知这样有没有错……

设等可能地输出 $n$ 个 1 或 2 之和为 $3k$ 的概率为 $a_n$，为 $3k+1$ 的概率为 $b_n$，为 $3k+2$ 的概率为 $c_n$。
考虑 $a_{n+1}$，即 $n+1$ 个 1 或 2 之和为 $3k$ 的情形发生，这只能有两种“路径”，即 $n$ 个之和为 $3k+1$ 型时再输出 2，以及 $n$ 个之和为 $3k+2$ 型时再输出 1，而输出 1 或 2 等可能，故 $a_{n+1}=0.5b_n+0.5c_n$。同理可得 $b_{n+1}=0.5c_n+0.5a_n$，$c_{n+1}=0.5a_n+0.5b_n$。
通项暂时不求，因为不知这样有没有错……
kuing 发表于 2013-4-5 00:43

再想了下，应该没什么漏 dong 吧……
来求一下通项，首先显然 $a_1=0$, $b_1=c_1=0.5$，后面两式相减得 $b_{n+1}-c_{n+1}=0.5(c_n-b_n)$，故必有 $b_n=c_n$，于是 $a_{n+1}=b_n$ 且 $b_{n+1}=0.5b_n+0.5a_n$，消去 $b_n$ 即得
\[a_{n+2}=\frac12a_{n+1}+\frac12a_n,\]
再由 $a_1=0$, $a_2=b_1=0.5$，即可求得
\[a_n=\frac13\bigl((-1)^n 2^{1-n}+1\bigr).\]

8# kuing

知道你递推法强！这道题似乎是专门为你准备的！
还有没有其他的方法？例如排列组合、母函数方法、等等

9# yes94

(68.72 KB)

2013-4-8 17:46

还是递推了……
但是如果将两者输出的概率改变一下，不知还行不行得通
换言之，能否用于推广？……

看了两遍题，看不懂，差距

11# kuing
还是k版的递推好，一箭三雕！
并且改变概率（非等可能），kuing的办法仍然吃香！
记得有一年的全国高中数学联赛加试题就是够作多个递推数列、环环相扣做出来的！
但不记得该题题目了  

(38.26 KB)

2013-4-8 21:34

12# isea

同感

擦，有那么难理解么……

(50.08 KB)

2013-4-9 21:22

16# yes94

这个也不错