[不等式] 摘两个不等式

（1）已知$a,b,c是大于1的实数，且a+b+c=9,$求证$$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c \geqslant \sqrt{ab+bc+ca}$$ ,有木有其它方法
摘自http://blog.sina.com.cn/s/blog_bf493a5c0101i26n.html
（2）设$a,b,c>0,且\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c \geqslant 3，$求证$$\sqrt{a^2+1}+\sqrt {b^2+1}+\sqrt {c^2+1}\leqslant \sqrt 2(a+b+c)$$,感觉这个不等式好特别啊
摘自安振平的博客http://blog.sina.com.cn/s/blog_5618e6650101jmz5.html

1# reny
reny是学生啊？这两个问题有些相似，却远隔千山，但reny捕捉到了，善于总结，

第二题用切线法应该可以

第一题作$a=x^2,b=y^2,c=z^2$后可以变成
\[ \sum{x^4}+2\sum{x^3(y+z)}+2\sum{x^2yz}\geq 7\sum{x^2y^2} \]
然后用4次配方的东东。

3# kuing


第二个好像可以AM-GM
Here is my proof.
作$ a=x^2,b=y^2,c=z^2 $
我们有
\[ x+y+z\geq 3 \]
不等式变成
\[ \sqrt{x^4+1}+\sqrt{y^4+1}+\sqrt{z^4+1}\leq \sqrt{2}(x^2+y^2+z^2) \]
而
\[ x^4+1=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1) \]
由AM-GM
\[ 2\sqrt{2(x^4+1)}=2\sqrt{(2-\sqrt{2})(x^2+\sqrt{2}x+1)\cdot(2+\sqrt{2})(x^2-\sqrt{2}x+1)}\leq 4x^2-4x+4 \]
所以
\[ 2\sum{\sqrt{2(x^4+1)}}\leq 4\sum{x^2}-4\sum{x}+12\leq 4\sum{x^2} \]
上式成立因为\[ x+y+z\geq 3 \]
Done

第一题调整也可以

（1）已知 $a$, $b$, $c$ 是大于 $1$ 的实数，且 $a+b+c=9$，求证
\[\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c \geqslant \sqrt{ab+bc+ca}.\]

不妨设 $c=\min \{a,b,c\}$，则 $c\in (1,3]$，记 $t=\sqrt{ab}$，则有 $t\leqslant(a+b)/2=(9-c)2<4$ 且 $t>\sqrt{c(a+b-c)}=\sqrt{c(9-2c)}>\sqrt7$。原不等式等价于
\[f(t)=\sqrt{9-c+2t}+\sqrt c-\sqrt{t^2+c(9-c)}\geqslant 0,\]
求导得
\[f'(t)=\frac1{\sqrt{9-c+2t}}-\frac t{\sqrt{t^2+c(9-c)}},\]
由
\[t^2+c(9-c)-t^2(9-c+2t)=-c^2+(t^2+9)c-2t^3-8t^2,\]
上式关于 $c$ 的判别式为
\[\Delta =t^4-8t^3-14t^2+81=-(t-2)^2(34+4t-t^2)-120(t-2)-23<0,\]
从而得到 $f'(t)<0$，所以
\[f(t)\geqslant f\left( \frac{9-c}2 \right)=\sqrt{2(9-c)}+\sqrt c-\frac12\sqrt{3(9-c)(c+3)},\]
故只需证
\[2\sqrt{2(9-c)}+2\sqrt c\geqslant \sqrt{3(9-c)(c+3)},\]
平方整理等价于
\[8\sqrt{2c(9-c)}\geqslant -3c^2+22c+9,\]
由 $c\in(1,3]$ 易知右边为正，故再两边平方整理等价于
\[3(c-3)^2(26c-3c^2-3)\geqslant 0,\]
由 $c\in(1,3]$ 易知成立，从而原不等式得证。

4# pxchg1200

刚才在韩京俊那本书第五章找到了第一题的2种解法，很多时候不知道配方怎么配的，只是感觉妙。

2# yes94
的确是大四学生，现在没什么事，处于毕业状态，也快要打酱油啦.

5# pxchg1200
漂亮简洁的解答啊，用$AM—GM时注意取等条件就ok$
也学习了调整法，就是有点难算啊