[不等式] 请高手帮忙证明这个不等式，十分感谢！

三角形ABC的三边长分别为a,b,c,f(λ)=a/(λa+b+c)+b/(λb+a+c)+c/(λc+a+b)证明:(1)当-1<λ<1时,3/(λ+2)<=f(λ)<2/(λ+1)
(2)当λ>1时，2/(λ+1)<f(λ)<=3/(λ+2)

三角形ABC的三边长分别为a,b,c,f(λ)=a/(λa+b+c)+b/(λb+a+c)+c/(λc+a+b)证明:(1)当-1<λ<1时,3/(λ+2)<=f(λ)<2/(λ+1)
(2)当λ>1时，2/(λ+1)<f(λ)<=3/(λ+2)
大程 发表于 2013-4-1 16:42

令 $a=y+z$, $b=z+x$, $c=x+y$, $x$, $y$, $z>0$，则
\[f(k)=\sum \frac{y+z}{2x+(k+1)(y+z)}.\]

当 $-1<k<1$，则
\[f(k)<\sum \frac{y+z}{(k+1)x+(k+1)(y+z)}=\frac2{k+1},\]
由柯西不等式及均值不等式，有
\begin{align*}
f(k)&\geqslant \frac{\left( \sum (y+z) \right)^2}{\sum (y+z)(2x+(k+1)(y+z))} \\
& =\frac{2\left( \sum x \right)^2}{(k+1)\left( \sum x \right)^2+(1-k)\sum xy} \\
& \geqslant \frac{2\left( \sum x \right)^2}{(k+1)\left( \sum x \right)^2+(1-k)\frac{\left( \sum x \right)^2}3} \\
& =\frac3{k+2};
\end{align*}

当 $k>1$，则
\[f(k)>\sum \frac{y+z}{(k+1)x+(k+1)(y+z)}=\frac2{k+1},\]
由柯西不等式及均值不等式，有
\begin{align*}
f(k)&=\frac1{k+1}\sum \left( 1-\frac{2x}{2x+(k+1)(y+z)} \right) \\
& =\frac3{k+1}-\frac2{k+1}\sum \frac x{2x+(k+1)(y+z)} \\
& \leqslant \frac3{k+1}-\frac2{k+1}\cdot \frac{\left( \sum x \right)^2}{\sum x(2x+(k+1)(y+z))} \\
& =\frac3{k+1}-\frac1{k+1}\cdot \frac{\left( \sum x \right)^2}{\left( \sum x \right)^2+(k-1)\sum xy} \\
& \leqslant \frac3{k+1}-\frac1{k+1}\cdot \frac{\left( \sum x \right)^2}{\left( \sum x \right)^2+(k-1)\frac{\left( \sum x \right)^2}3} \\
& =\frac3{k+2}.
\end{align*}

搞内切圆代换？

3# yes94

最直接……

你也可以试试琴生、切线之类的……这种题适合你玩方法dang

4# kuing
这个题还是算了吧，看着有些怕哟，

5# yes94

有什么怕的……强展也不过三次齐次完全对称……怎么玩都行

6# kuing
如果这个条件“三角形$ABC$的三边长分别为$a,b,c,$”没有的话，还敢做一做……

7# yes94

内切圆代换不就去掉了么……

改一下条件，只证明一下部分结果。看看对不对？
当$-2<λ<0$时，\begin{align*}
f(λ)&=\dfrac a{λa+b+c}+\dfrac b{λb+a+c}+\dfrac c{λc+a+b}\\
&=\dfrac{a^2}{λa^2+ab+ac}+\dfrac{b^2}{λb^2+ab+bc}+\dfrac{c^2}{λc^2+ac+bc}\\
&\geqslant\dfrac{(a+b+c)^2}{λ(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ac)}\\
&\geqslant\dfrac{(a+b+c)^2}{λ(ab+bc+ac)+2(ab+bc+ac)}\\
&=\dfrac{(a+b+c)^2}{(λ+2)(ab+bc+ac)}\\
&\geqslant\dfrac{3}{λ+2}
\end{align*}
对不对啊？
说明：原题条件为$-1<λ<1$，现在改为$-2<λ<0$，左边拓展到了$-2$，右边却缩小到0.

9# yes94
如果$-2<λ<0$，则需加条件分母$λa+b+c>0$等等，而由三角形，当$λ>-1$时，正好得到$λa+b+c>b+c-a>0$，保证分母为正数，所以$λ$不可拓展到-2附近。