[数论] 2012江苏高考附加题的压轴题

设集合$P_{n}=\{1,2,\cdots,n\},n\in N^{*}$,记$f(n)$为同时满足下列
条件的集合$A$的个数:
(1)$A\subseteq P_{n}$;
(2)若$x\in A$,则$2x\notin A$;
(3)若$x\in \complement_{P_n}A$,则$2x\notin \complement_{P_n}A$.
求$f(n)$的解析式(用$n$表示)
参考答案玄乎玄乎的，哪位能个给出比较自然的思路.

1# pengcheng1130
本来题目就玄乎的玄乎的，……
似乎是给竞赛党们做的……

2)(3)的意思可以举这样例子,若$P_n$中出现,1,2,4,8,16,32的等比数列.那么1,4,16必须在一起,2,8,32必须在一起
"1,4,16"与"2,8,32"必须分开.
试试$P_1$,得A为空集或{1},即$f(1)=2$
试试$P_2$,得A为{1}或{2},即$f(2)=2$
试试$P_3$,得A为{1}或{2}或{1,3}或{2,3},即$f(3)=4$
通过$P_3$的例子,考虑,若$P_n$中出现,1,2,4,8,16,32以及3,6,12,24,48,.怎么处理,又冒出新问题"新一个公比为2的等比数列的出现与n的关系"?
若$P_n$可以分割为k个等比数列,那么$f(n)=2^k$,
新的一个奇数出现,可以看作一个新的公比为2的等比数列的首项,
那么就是$k=[\frac{n+1}{2}]$,即问题的答案就是$f(n)=2^{[\frac{n+1}{2}]}$,是不是这样啊?

3# realnumber

(1.78 KB)

2013-3-31 13:35

4# yes94
那就是了,[x]取整函数,表示不超过x的最大整数.

做过类似的填空题，关注一下

命题$1$：集合$A$若有$k$个元素，则集合$A$有$2^k$个子集。
命题$2$：集合$P_n=\{1,2,3,\cdots,n\}$里奇数的个数是$\dfrac n2$（$n$为偶数）或$\dfrac {n+1}2$（$n$为奇数）。
命题$3$：若奇数$m\in A$，则$2^2m，2^4m，2^6m，\cdots,2^{2t}m\in A$，其中$2^{2t}m$是属于集合$P_n=\{1,2,3,\cdots,n\}$里最大的元素。
命题$4$：若奇数$m\notin A$，则$2m，2^3m，2^5m，\cdots,2^{2t-1}m\in A$，其中$2^{2t-1}m$是属于集合$P_n=\{1,2,3,\cdots,n\}$里最大的元素。
然后就好办了吧？