[不等式] 三边根式不等式（from 粉丝群）

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2013-3-30 14:41

由
\[\left(\frac{a+b+c}{2(a+b)}\right)^2-\frac{(2a+c)(2b+c)}{(3a+b)(3b+a)}=\frac{(3a+3b+c)(a+b-c)(a-b)^2}{4(a+b)^2(3a+b)(3b+a)}\geqslant 0,\]
得到
\[\sum\sqrt{\frac{(2a+c)(2b+c)}{(3a+b)(3b+a)}}\leqslant\frac{a+b+c}2\sum\frac1{a+b},\]
而
\[\frac52-\frac{a+b+c}2\sum\frac1{a+b}=\frac{abc+\sum a^2(b+c-a)}{2(a+b)(b+c)(c+a)}>0,\]
故原不等式得证。

1# kuing
居然还有这种放缩方法！
即便想到了这种放缩，也证明不出来

1# kuing


神奇的局部。。。。

3# pxchg1200

真的是根据你在群里发的那个放过头的放缩再加以收紧得到的……运气可以说是……