[不等式] 闪前发现下午有道题忘了看

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2013-3-30 00:57

$x$, $y$, $z\in[0,1]$，求 $x\sqrt{1-y}+y\sqrt{1-z}+z\sqrt{1-x}$ 的最大值。

又看了看，不会……今天的确不是解题模式……先闪，明天再看

1# kuing
能不能用排序不等式呢？
$x \ge y \ge z$，然后就有$1-z \ge 1-y \ge 1-x$，所给的是乱序，大于逆序吧，$f \ge x\sqrt{1-x}+y\sqrt{1-y}+z\sqrt{1-z}$
最后变成三个单变量的，求导就能算了，$x=y=z=2/3$时取等号。
我不等式弱，看看有没有错误？

还是错了，求了最小值。

不过用拉格朗日乘数法算，求到的是最小值的那个极值点，另一个应该在端点处吧，如果是x=0，最大值就是$z+y\sqrt{1-z} \le z+\sqrt{1-z} \le 5/4$了，此时$x=0$，$y=1$，$z=\frac{3}{4}$

原来是这样的取等条件……

1# kuing
能不能用排序不等式呢？
$x \ge y \ge z$，然后就有$1-z \ge 1-y \ge 1-x$，所给的是乱序，大于逆序吧，$f \ge x\sqrt{1-x}+y\sqrt{1-y}+z\sqrt{1-z}$
最后变成三个单变量的，求导就能算了，$x=y=z=2 ...
abababa 发表于 2013-3-30 16:34

能不能这样设？$x \ge y \ge z$，

某网友的证明：

看了这个，才想起了2009年的这个贴：http://www.irgoc.org/viewtopic.php?f=15&t=9

似乎can_hang们都很在乎copyright呢，我只是没给出是谁答复的，

印象中……题目出处……好像是陈计的……

目测是Vasc的

来一个简单地（两个变量）：
当$x,y\in[0,1]$时，求$x\sqrt{1-y}+y\sqrt{1-x}$的最大值。
楼主是三个变量的，能否推广到四个变量？