[数列] 数列根号递推求通项（from 粉丝群）

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2013-3-29 14:06

题目：已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_1=a$（$a>0$），且满足 $a_{n+1}=\sqrt{S_n^2+a^2}$，试求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式。

由递推关系得
\begin{align*}
a_{n+1}^2&=S_n^2+a^2, \\
a_n^2&=S_{n-1}^2+a^2,
\end{align*}
相减得
\begin{align*}
a_{n+1}^2-a_n^2&=(S_n+S_{n-1})(S_n-S_{n-1}), \\
a_{n+1}^2-a_n^2&=(a_n+2S_{n-1})a_n, \\
a_{n+1}^2-2a_n^2&=2a_nS_{n-1},
\end{align*}
于是有
\begin{align*}
\frac{a_{n+1}^2-2a_n^2}{2a_n}&=S_{n-1}, \\
\frac{a_{n+2}^2-2a_{n+1}^2}{2a_{n+1}}&=S_n,
\end{align*}
相减得
\[\frac{a_{n+2}^2-2a_{n+1}^2}{2a_{n+1}}-\frac{a_{n+1}^2-2a_n^2}{2a_n}=a_n,\]
可以变形为
\[\left( \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} \right)^2=\frac{a_{n+1}}{a_n}+2,\]
令 $a_{n+1}/a_n=b_n$，则
\[b_{n+1}^2=b_n+2,\]
易知 $a_2=\sqrt2a$，即 $b_1=\sqrt2$，由此易证 $0<b_n<2$，故可以令 $b_n=2\cos c_n$，其中 $c_n\in(0,\pi/2)$，代入上式有
\[(2\cos c_{n+1})^2=2\cos c_n+2 \iff \cos2c_{n+1}=\cos c_n \iff c_{n+1}=\frac12c_n,\]
注意到 $c_1=\pi/4$，于是
\[c_n=\frac\pi{2^{n+1}},\]
即
\[\frac{a_{n+1}}{a_n}=2\cos\frac\pi{2^{n+1}},\]
所以
\[a_n=a\prod_{k=1}^{n-1}\left(2\cos\frac\pi{2^{k+1}}\right)=2^{n-1}a\prod_{k=2}^n\cos\frac\pi{2^k}.\]

PS、不知最后结果能不能再化简……

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）