[函数] 导数一题,洛比达法则或求导2次?

本帖最后由 realnumber 于 2013-4-3 14:00 编辑

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2013-3-29 07:42

第2问问题等价于$\forall x,x\ge1, x\ln x+p(x^2-1)\le0$恒成立,
记$h(x)=\ln x+p(x-\frac{1}{x})$,由$f(1)=0$,得存在足够接近1的$ε,y=h(x),x\in[1,ε],$递减,即$h'(x)\le0$,如此得到$p\le -0.5$,再验证下充分性,完.---

realnumber

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2^#

发表于 2013-3-29 10:53

本帖最后由 realnumber 于 2013-3-29 10:56 编辑

群里又看到一题
$\forall x,x\in (0,1)\cup (1,+∞),\frac{2\ln x}{1-x^2}+\frac{1-k}{x}\ge0$恒成立,求k的取值范围.

kuing

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3^#

发表于 2013-3-29 12:17

1# realnumber

在高中大概不能那样玩，似乎需要一些高数定理的支持。

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

yes94

论坛元老

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帖子: 929

4^#

发表于 2013-3-29 12:33

本帖最后由 yes94 于 2013-3-29 12:35 编辑

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第2问问题等价于$\forall x,x\ge1, x\ln x+p(x^2-1)\le0$恒成立,
记$h(x)=\ln x+p(x-\frac{1}{x})$,由$f(1)=0$,得存在足够接近1的$ε,y=h(x),x\in[1,ε],$递减,即$h'(x)\le0$,如此得到$p\le -0.5$,再验证下充 ...
realnumber 发表于 2013-3-29 07:42

过程太简略的话，会造成读者减少。
这是常数变易法，将$0$变易成$h(1)=0$，其中$h(x)=\ln x+p(x-\dfrac{1}{x})$
将$h(1)=0$误写为$f(1)=0$吧？
不过确实$f(1)=0$，
尝到了特殊的必要条件会成为充要条件的甜头，成为楼主继续冒险下去的动力。