[函数] 导数不等式求最大整数值

本帖最后由 isea 于 2013-3-27 03:26 编辑

题：已知函数$f(x)=(x^3+2x^2+5x+t)e^{-x},t\in \mathbf{R},x\in \mathbf{R} $．
（1）当$t=5 $时，求函数$y=f(x)$的单调区间；
（2）若存在实数$t\in [0,1] $，使对任意的$x\in[-4,m] $，不等式$f(x)\leq x $成立，求整数$m $的最大值．

海淀3月部分学校高三联考试题倒数第三题；这题第（2）问有超过北京课标之嫌，
偶对第（2）求得的结果是$0$，但并不能完全肯定。
我觉得试题还是有一定的代表性，若求导，则导数的零点是个难点，
但如2012年广州高三一模也有类似的函数导数不等式综合大题。
故，最终还是发了上来，班门弄斧，抛砖引玉，主要是向大家学习，先谢。

分析与解：
（1）增区间$(-\infty,0)$，减区间$(0,+\infty)$;

（2）据以往经验，若函数的导函数还要继续求导，往往各自相应的零点或者取最值条件巧同。
而此题不是。
如果我们能在有限的时间里，不借用计算器，大约将函数的图象画出来，数与形结合，将会明朗许多。
而，偶认为求极值，判断与零的大小关系，其本质上就是在作图了。
函数作图，就肯定涉及函数的凹凸性，亦，二次求导，这，超出了高中导数范围，
虽对导函数再求导只是一句话的事，但，如果出现了定义概念之类，那就又带来了许多新的问题。

回到第（2）问，先化简看看再说：
\begin{align}
f(x)\leq x &\iff (x^3+2x^2+5x+t)e^{-x}\leq x \notag \\
&\iff x^3+2x+5x+t\leq xe^x\notag\\
&\iff t\leq xe^x-x^3-2x^2-5x
\end{align}

这里很容易验证，$t\in [0,1]$，当$x=0$（此时有$t=0$）不等式（1）是成立的。
更重要的一方面，这样便将变量与参数分离开了，且不看题中的自变量范围，先。
$$\exists t\in [0,1],\forall x\in \mathbf{R},t\leq xe^x-x^3-2x^2-5x \iff 0\leq xe^x-x^3-2x^2-5x$$
再结合题设条件$x\in[-4,m] $，

若$x\in[-4,0)$（即$x<0$)则
\begin{align}
0&\leq xe^x-x^3-2x^2-5x \notag \\
\iff 0&\geq e^x-x^2-2x-5
\end{align}
对不等式（2），$x\in[-4,0)$是否成立问题已经很常规了，即讨论函数$F(x)=e^x-x^2-2x-5,x\in[-4,0)$上的最大值与零的大小！
但是这里有个问题，就是导函数的零点无法求出，列表讨论极值出现困难。

不过，一眼看下去，立刻得$x\in[-4,0),F'(x)=e^x-2x-2,(F''(x)=e^x-2<0)$即

此时函数$F'(x)$在$x\in[-4,0)$上单调递减，

故$F'(x)=0$有惟一解，

不防令$F'(x)$零点为$x_0$，（言外之意即是说：$x\in [-4,x_0),F'(x)>0，\cdots$

即令$F'(x_0)=e^{x_0}-2x_0-2=0 \Rightarrow e^{x_0}=2x_0+2$

再看$F(x)$，有$F(x)$在$[-4,x_0)$单调递增，在$[x_0，0)$单调递减（有极大值这里即最大值）。

此时可以在稿纸，或者脑袋里画一个$x\in [-4,0),F(x)$草图，再结合要证明的不等式（2），
很自然的计算
$F(x_0)=e^{x_0}-x_0^2-2x_0-5=2x_0+2-x_0^2-2x_0-5=-x_0^2-3<0$，亦不等式（2）成立。

从而$m \geq 0$。

最后，若$x>0$则
\begin{align}
0&\leq xe^x-x^3-2x^2-5x \notag \\
\iff 0&\leq e^x-x^2-2x-5
\end{align}

即讨论函数$F(x)=e^x-x^2-2x-5,x\in(0,+\infty)$上的最小值与零的大小。
讨论方法与$x\in[4,0)$大同小异，不过，这里求整数$m$的最大值，注意到
$F(1)=e-1-2-5<0$，这就意味着$m<1$.

综上，整数$m$的最大值为$0$。

数学公式终极编辑器：Aurora，基于LaTeX；
$\LaTeX$，若习惯命令一定顺手

yes94

论坛元老

UID: 13
帖子: 929

2^#

发表于 2013-3-27 11:08

1# isea
思路感觉还不错，

kuing

管理员

UID: 1
帖子: 3992

3^#

发表于 2013-3-27 11:36

isea 变成夜猫了？

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

零定义

中级会员

UID: 582
帖子: 86

4^#

发表于 2013-3-27 15:19

总感觉“整数”这个条件有点多余...

realnumber

论坛元老

UID: 16
帖子: 590

5^#

发表于 2013-3-27 16:13

这样做就不显得多余了,取m=1,令x=1代入可得,$8+t\le e,t\in [0,1]$,显然不成立.
取m=0,以下证明t=0时,恒成立,x=0显然成立,当$-4\le x<0$,即要证明$x^2+2x+5\ge e^x$
这个显然成立$x^2+2x+5=(x+1)^2+4\ge4\ge1\ge e^x$