[组合] 请教一个奇偶数排成一圈的问题

50个数排成一圈，其中一半是奇数一半是偶数，求证必有一数，它的两边都是偶数。

1# abababa
像初中奥赛题，

2# yes94
可能是吧，具体来源我也不清楚，都是零散的一些复印纸，还有手抄的。
这题没想到怎么做，发来问问。

没完善,只是想法,从某个偶数a顺时针开始考察,
1.假定a,偶数b在一起,那么ab或ba前后至少要2个奇数才能继续放一个或2个偶数,然后继续2个或以上奇数,
如果一直2偶2奇数,那么与25个奇数偶数矛盾,如果出现3奇数或一偶数,那么奇数比偶数多,也矛盾.
2.假定a前后是奇数,奇数至少都2个以上,这样奇数比偶数多,也矛盾.
就这么完了?有漏洞吗?

另外一题：
从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。
解答：
因为任何一个正整数都能表示成一个奇数乘2的方幂，并且这种表示方法是唯一的，所以我们可把1-100的正整数分成如下50个抽屉（因为1-100
中 gòng有50个奇数）：
1）{1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26}；
2）{3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25}；
3）{5，5×2，5×22，5×23，5×24}；
4）{7，7×2，7×22，7×23}；
5）{9，9×2，9×22，9×23}；
6）{11，11×2，11×22，11×23}；
……
25）{49，49×2}；
26）{51}；
……
50）{99}。
这样，1-100的正整数就无重复，无遗漏地放进这50个抽屉内了。从这100个数中任取51个数，也即从这50个抽屉内任取51个数，根据抽屉原则，其中必定至少有两个数属于同一个抽屉，即属于（1）-（25）号中的某一个抽屉，显然，在这25个抽屉中的任何同一个抽屉内的两个数中，一个是另一个的整数倍。

5# yes94

审核通过，编辑掉mingan词

5# yes94
是有这个题，这个题我弄出来了。请教一楼的问题。realnumber讲的没大看懂。
比如a是奇数，baab也是最后的ab在一起，它前面只有一个a就可以继续放一个偶数b了，不是必须要有两个奇数。可能是我没理解到位？

7# abababa
2楼的a也是偶数，
2楼用反证法，意思是至少2个奇数才能隔开偶数，偶数连在一起最多2个；这样导致“奇数比偶数多”或“一样多，但奇数偶数都是偶数个”.

8# realnumber
按照反证法和相邻数关系的提示，假设不存在这样的数，目前得到奇数至少有2个相邻，否则这个奇数两边都是偶数；偶数至多有2个相邻，否则3个偶数相邻，中间的一个满足条件。
最终的证明还没想到，猜是能用奇数和偶数个数相等这个条件？

6# kuing
我觉得好奇怪，我还以为kuing要对我用极刑了？

9# abababa


我觉得已经完成证明了，这样的话，奇数多于偶数；除非都是2个2个，这样导致奇数偶数相等但不是25个奇数 ，25个偶数，而是2k个.

11# realnumber
谢谢，我想明白了，如果把相邻的奇数整体看成一个奇数区，相邻的偶数整体看成一个偶数区，重点在于排的这一圈里，奇数区和偶数区必然互相分成相同数量的弧段，只有这样才能说反设后奇数的数量必定不小于偶数的数量，然后排除都是两两一段的可能。

我写了一个证明，大家看看

13# 转化与化归
谢谢，用公式表达有时候过程更明白。这个题用公式表达的话分类有点多。

14# abababa
两个网友证明：
1.反证法：设不存在这样的情形
把所有数左右两边的数放在一起，得到100个数，其中50个奇数，50个偶数（即将原来的50个数每个取了两次）；
奇数和偶数相等且不存在一个数左右两侧均为偶数，说明不可能存在某数左右两侧均为奇数的情况，不然奇数肯定比偶数多；
此时考虑左右均为一正一负的情况，简单分析可知这种情况不成立；
由以上，推出矛盾
2.

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2013-3-29 20:30