[函数] 三次函数仅有两个不同的零点

题：已知函数$f(x)=ax^3+bx^2-2(a\ne0)$有且仅有两个不同的零点$x_1,x_2,$则
      A. 当$a<0$时，$x_1+x_2<0,x_1x_2>0$        B. 当$a<0$时，$x_1+x_2>0,x_1x_2<0$
      C. 当$a>0$时，$x_1+x_2<0,x_1x_2>0$        D. 当$a>0$时，$x_1+x_2>0,x_1x_2<0$

偶动用韦达定理，硬生生将两根求出来了，超bào力，不知有没轻便之法，多谢。

1# isea
极大、或极小值为0吧？

跟去年山东理数12差不多……我也是把根求出来，其实也不麻烦，见《数学空间》总第9期P22

1# isea
极大、或极小值为0吧？
yes94 发表于 2013-3-24 22:32

极值肯定是一个方向，多数人的第一方向，哈哈。


3# kuing

好的，我看看去。

网刊最近到第几期了？

＝＝＝＝


看了，这个思路，跟偶一样，呵呵，寻找图象法，乘了个 $\dfrac{1}{x}$ 变成反比例与二次函数，变成你的说的题的原型了，哈哈……

4# isea

准备出12

4# isea

图象法我在评注里有提了一下

4# isea

准备出12
kuing 发表于 2013-3-24 22:41

期待一下！

4# isea

图象法我在评注里有提了一下
kuing 发表于 2013-3-24 22:46

等有空的某天，我从极值方向写个详细的过程，三次函数还是值得深入玩味的

7# isea

我估计大概还要等半个月以上才能出12。
其实初稿上星期已经交上了去，现在还没回复，到时会返回一些修改意见，改好后再交一次上去，再等出……
就是这两等，经常被拖着，很慢……越来越慢

三次函数几乎已经被很多人人重复玩了好几遍了，
不要误会哈，
这句话用什么感*情*色*彩、该怎么说才好呢？
难煞我也。

9# yes94

敏感词尽量用拼音代之，中间加符号不一定能起作用

IC的自编题？还是有出处的题目？还是改编题？
IC有改编题目的习惯。

三次函数几乎已经被很多人人重复玩了好几遍了，
不要误会哈，
这句话用什么感*情*色*彩、该怎么说才好呢？
难煞我也。
yes94 发表于 2013-3-24 22:56

无所谓了，当不常读书，也不常主动去探究新东西，自己重复发现一下亦有乐趣的

能打出来分享给更多的人，如果能对某个，或者更多，有那么一点点的启迪的话，何乐而不为呢

IC的自编题？还是有出处的题目？还是改编题？
IC有改编题目的习惯。
yes94 发表于 2013-3-24 23:25

IC的自编题？还是有出处的题目？还是改编题？
IC有改编题目的习惯。
yes94 发表于 2013-3-24 23:25

这里是北京东城区某校零模拟练习题。


PS：小改改顺序，数字之类，不是自编了。

12# isea
也是哈，
看来我猜的还真准确

有权限下载的话就好了：http://wuxizazhi.cnki.net/Search/ZXSX200710009.html

选择题方法倒有,
$(x-1)^2(x-k)=0$一次项系数为$2k+1=0$,解得$k=-0.5$,即两根为$1,-0.5,a>0$
$-(x-1)^2(x-k)=0$一次项系数为$-2k-1=0$,解得$k=-0.5$,即两根为$1,-0.5,a<0$
看来与a正负无关,选D

15# realnumber
似乎也可以改为字母,变为解答题办法,运算难度不知道会怎么样?

选择题方法倒有,
$(x-1)^2(x-k)=0$一次项系数为$2k+1=0$,解得$k=-0.5$,即两根为$1,-0.5,a>0$
$-(x-1)^2(x-k)=0$一次项系数为$-2k-1=0$,解得$k=-0.5$,即两根为$1,-0.5,a
realnumber 发表于 2013-3-26 14:12

我检查了主楼的录入无误，此题的正确选项是 B，realnumber 可能计算有误（未细查，只是感觉，可能）。
$a>0$时，两根和小于零。

＝＝＝＝

我知道哪儿错了，原函数过$(0,-2)$，而构造的函数不满足此条件

楼上说得对,重新来,
$a(x-x_1)^2(x-x_2)=0$,一次项系数为$2ax_1x_2+ax_1^2=0$得$x_1x_2<0$且$x_1=-2x_2$($x_1=0$需另外检验),常数项$-ax_1^2x_2=-2$
得$ax_1<0$,$x_1+x_2=-x_2$,若$a>0$,则$x_1<0,x_2>0,x_1+x_2<0$,若$a<0$,则$x_1>0,x_2<0,x_1+x_2>0$
这样就是B了.
又,重新考虑系数问题,3次和2次系数应该没什么大用,而1次和常数已知的量,导致仅用这2个解题,应该很正常.

楼上的是三次函数配方法，和kuing在数学空间里的方法基本一致。
以前证明当$a>0$时，$a^3+2\geqslant3a$，有至少两种方法，其中一种：\[a^3+1+1\geqslant3a\]
另一种是配方法：\[a^3-3a+2=(a-1)^2(a+2)\geqslant0\]