当面点师碰到数学

本帖最后由 isea 于 2013-3-24 21:49 编辑

源自：2009年上海市普通高等学校春季招生考试数学卷第11题。

偶以前没注意，这是第一次见到，觉得有点意思——

以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图（图略），在数轴上截取与闭区间$[0,4]$对应的线段，对折后（坐标$4$所对应的点与原点重合）
再均匀地拉成$4$个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标$1$、$3$变成$2$，原来的坐标$2$变成$4$，等等）。
那么原闭区间$[0,4]$上（除两个端点外）的点，在第$n$次操作完成后（$n \ge 1$），恰好被拉到与$4$重合的点所对应的坐标为$f(n)$，则$f(3)=？$；$f(n)=？$。

yes94

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2^#

发表于 2013-3-24 21:58

标题还很好听，吸引人。
还改遍了原题：http://wenku.baidu.com/view/66ce24c58bd63186bcebbc0e.html

isea

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3^#

发表于 2013-3-24 23:22

2# yes94

这个题似乎还只能通过归纳法，慢慢寻找规律

递推式似乎不好办，似乎，……

李斌斌755

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4^#

发表于 2013-3-25 10:21

本帖最后由李斌斌755 于 2013-3-25 15:17 编辑

3# isea

N次操作后，面条被拉长到2^n倍，每倍段长相当于原面条的4/2^N=1/2^(n-2)长度。看看拉伸
后各段终点对应坐标情况：先看第一段，其终点对应的原坐标为1/2^(n-2);第二段其终点对应
的原坐标为2*1/2^(n-2)；第三段其终点对应的原坐标为3*1/2^(n-2)……第2^n段其终点对应的
原坐标为2^n*1/2^(n-2)。奇数段终点落在数轴4点上。
故 f(n)=i/2^(n-2) （i属于[1,2^n]内奇数）

isea

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5^#

发表于 2013-3-25 14:16

本帖最后由 isea 于 2013-3-25 14:27 编辑

3# isea

N次操作后，面条被拉长到2^n倍，每倍段长相当于原面条的4/2^N=1/2^(n-2)长度。看看拉伸
后各段终点对应坐标情况：先看第一段，其终点对应的原坐标为0、1/2^(n-2);第二段其终点对应
的原坐标为2*1/2^( ...
李斌斌755 发表于 2013-3-25 10:21

改下直接的数学公式：(好像翻译得不对劲，楼上似乎不是这个意思）

$N$次操作后，面条被拉长到$2^n$倍，每倍段长相当于原面条的$\dfrac4{2^N}=\dfrac{1}{2^{(n-2)}}$长度。看看拉伸
后各段终点对应坐标情况：先看第一段，其终点对应的原坐标为$0、\dfrac1{2^{(n-2)}}$;第二段其终点对应
的原坐标为$2 \cdot \dfrac1{2^{(n-2)}}$；第三段其终点对应的原坐标为$3 \cdot \dfrac{1}{2^{(n-2)}},\cdots$第$2^n$段其终点对应的
原坐标为$\dfrac{2^n \cdot 1}{2^{(n-2)}}$。奇数段终点落在数轴4点上。
故 $f(n)=\dfrac{i}{2^{(n-2)}}$ （$i\in[1,2^n]$内奇数）

PS:在数学公式两端加$\$$符号即显示为公式，论坛。

分式复杂一些，分式代码是 \dfrac{113}{355}，
显示出来是：$\dfrac{113}{355}$