3道积分计算

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2013-3-24 03:05

哎，第一个试着换三角了，还是不行。。第二个分母又不能再分，彻底没思路。。第三个也不知道怎么分了。。

1# ╰☆ヾo.海x


在天下的指导下。。都解决了。。。哈哈

2# ╰☆ヾo.海x

但是又有新问题了。。哎，本以为这第一个可以用跟那个第一题一样的方法，结果算不出来。。第二个公式怎么证啊。。
例如算1/(x^2+2x+3)dx的积分怎么求？

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2013-3-24 05:33

又见 $\succ$ 当 $>$ 用的……

3# ╰☆ヾo.海x

判别式非负0时其实可以再分，判别式负时分母配方换元。

第一题三角代换后还是可以继续的，不过大概还得再换……
当 $x\ne -\sqrt2/2$, $-1$, $1$ 时，可令 $x=\cos t$, $t\in (0,3\pi /4)\cup (3\pi /4,\pi )$，则
\[\int\frac{\rmd x}{x+\sqrt{1-x^2}}=\int\frac{-\sin t\rmd t}{\cos t+\sin t}=-\int\frac{\rmd t}{\cot t+1},\]
再令 $t=\arccot u$, $u\in \mbb R\setminus\{-1\}$，则
\[-\int\frac{\rmd t}{\cot t+1}=-\int\frac{\rmd{\arccot u}}{u+1}=\int\frac{\rmd u}{(u+1)(u^2+1)}=\frac12\int\frac{\rmd u}{u+1}-\frac12\int\frac{u-1}{u^2+1}\rmd u,\]
然后代公式，积出后回代，最后验证那几个奇点……挺麻烦

汗哉，居然没有 \arccot 这命令……

爪机拍得太差……

8# kuing


太感动了。。。。酷儿还翻书拍照片上传来着....你都要保存下来啊！！！哎但是关键是保存下来后什么时候能正常重见天日不知道啊..

6# kuing

哇你第一步真的写的好规范好严格。。。我换元从来都不考虑范围。。。。。
我后来做的还比较简单，直接令x=sint的
然后原式被积部分就变成 1-1/(1+cost),然后再用半角公式变成含(sec(t/2))^2项。。

一定会等到一个全新的 悠闲数学娱乐论坛。。。

现在才来感动……当时看了就过了对不对 ……

11# kuing