[不等式] 来自pep的弱根式不等式 $\sum\sqrt{ab(a+b)}>\sqrt{\prod(a+b)}$

来自 http://bbs.pep.com.cn/thread-1926228-1-1.html

$a,b,c\in\mathbb{R}^+$\[\sqrt{ab(a+b)}+\sqrt{bc(b+c)}+\sqrt{ca(c+a)}>\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}.\]

两边平方是容易证明的，而且可以加强，详情见：http://www.artofproblemsolving.c ... ?f=151&t=363314
此外，两边除右边，等价于
\[\sum\sqrt{\frac{ab}{(b+c)(c+a)}}>1,\]
这其实等价于三角形不等式
\[\sin\frac A2+\sin\frac B2+\sin\frac C2>1,\]
其三角证法也是熟知的了。
又或者用均值来证，变形为
\[\sum\frac{ab}{\sqrt{a(b+c)}\sqrt{b(c+a)}}>1,\]
由均值有
\[\sum\frac{ab}{\sqrt{a(b+c)}\sqrt{b(c+a)}}\geqslant\sum\frac{2ab}{a(b+c)+b(c+a)}=\sum\frac{2ab}{2ab+bc+ca}>\sum\frac{ab}{ab+bc+ca}=1.\]

我来个稍微有意思点的。呵呵
Let $a,b,c \geq 0 $ prove that:
\[ \sqrt{a^{2}+4bc}+\sqrt{b^{2}+4ac}+\sqrt{c^{2}+4ab}\geq \sqrt{15(ab+bc+ca)} \]

( 我暂时还没想到怎么做。。 )

2# pxchg1200

又大变脸……