[几何] 一个椭圆类准线与类焦点的结论（资料1）

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2013-3-23 17:19

______kuing edit in $\LaTeX$______

定理  已知点 $M(m,0)$（$0<\abs m<a$）是椭圆 $C: x^2/a^2+y^2/b^2=1$（$a>b>0$）内一定点，$P$ 是椭圆 $C$ 上的点，$Q$ 是直线 $x=a^2/m$ 上的点（如图 3）。记直线 $QM$、$PM$ 的斜率为 $k_{QM}$、$k_{PM}$，则直线 $PQ$ 为椭圆 $C$ 的切线的充分必要条件为
\[k_{QM}\cdot k_{PM}=-\frac{b^2}{a^2-m^2}.\]

双曲线、抛物线也应该有类似的结论？！

2# 第一章
应该有吧

也添加一个常见的，一般结论：

已知直线$l$与椭圆$C:\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$交于两点$A,B$。坐标原点$O$到直线$l$的距离为$d>0$，
则$\vv {OA}\perp\vv {OB}\Leftrightarrow d=\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

然，后一般还有一问，求$S_{\triangle{ABC}}$的面积最大值，其结论为$\left (S_{\triangle{ABC}}\right )_{\max}=\dfrac{ab}2$.




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如果说是资料，最好录成文字，图片，时间一长，服务器必删除

4# isea

代码的各种好处……

不过其实也不用怕，我偶尔备份纯文字版，也偶尔批量保存图片……

kuing的这道题和该命题有关：http://www.pep.com.cn/rjwk/gzsxs ... 0120724_1133829.htm

6# yes94

昨天就意识到了，1#结论是推广。

现在忽略PQ是否为切线这个问题，问是否有三斜率$k_{PQ}$，$k_{MQ}$，$k_{P'Q}$成等差数列？

6# yes94

昨天就意识到了，1#结论是推广。
kuing 发表于 2013-3-24 23:18

你说能不能通过压缩变换将其转化到。。。

9# kuing
对压缩变换几乎没有研究，因为对压缩变换的不变量不是太清楚，或者压缩系数问题不明白，似乎与 雅克比行列式有关？

10# yes94

作变换
\[\left\{\begin{aligned}
X&=x,\\
Y&=\frac{\sqrt{a^2-m^2}}by,
\end{aligned}\right.\]
则切线仍为切线，而直线斜率
\[K=\frac{\sqrt{a^2-m^2}}bk,\]
椭圆变成
\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{Y^2}{a^2-m^2}=1,\]
注意到 $M(m,0)$ 和直线 $x=a^2/m$ 不变，正好变为椭圆的焦点和准线，所以根据链接中的结论有
\[K_{QM}\cdot K_{PM}=-1\iff\frac{\sqrt{a^2-m^2}}bk_{QM}\cdot \frac{\sqrt{a^2-m^2}}bk_{PM}=-1\iff k_{QM}\cdot k_{PM}=-\frac{b^2}{a^2-m^2}.\]

k可以就此写一篇论文了。
PS，之前看了《空间》的那个结论，命制了一个考题，抛物线的。比较简单（适合高中生做；其实，难度大的题我也命制不了）

12# 第一章

圆锥曲线的论文我可不敢随便写，很容易撞车的，比如说“这不都是几十年前的结论了？”、“我早就推过了！”、“见《数学XX》YY年第ZZ期……”等……

的确，圆锥曲线的性质、知识在很久以前就很成熟啦！
圆锥曲线在约公元前200年时就已被命名和研究了，其发现者为古希腊的数学家阿波罗尼阿斯，那时阿波罗尼阿斯对它们的性质已做了系统性的研究。
http://baike.baidu.com/view/1182424.htm
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%86%E9%94%A5%E6%9B%B2%E7%BA%BF

只是，搞点新意、变通、新应用之类的还是可以的，

阿波罗尼奥斯太牛比，当年压根还没有坐标系这东西，他那真的是完全用纯几何玩的圆锥曲线。
虽然我也经常这样玩，可是我也不敢说我有某次做的东西是新的。

15# kuing
对，他那时还没有坐标系吧？虽然他有些坐标系的思想了，完全是利用定义搞平面几何解法，真的niubility！
kuing也喜欢用平面几何解法解决解析几何问题，也相当的niubility！这叫英雄所见略同，（不是抄袭哈）

15# kuing
当年……

17# 第一章
当年叱咤风云？

说的是k，他的那个回复用了“当年”二字，我还以为那个阿波罗尼奥斯生活在当下呢

话说这个阿波罗尼奥斯就是那个阿波罗尼斯吧，
以前因为那个阿氏圆认识他，开始叫阿波罗，后来叫阿波罗尼斯，现在叫阿波罗尼奥斯，下次直接叫阿波罗鸟事。