我只是想用一个贴子试试怎么写...

设$G$是一个区域且$f(x)$为$G$上的连续函数，$L$为一常数，如果$f(x)$满足以下条件：
\[\abs{f(x_1)-f(x_2)} \leqslant L\abs{x_1-x_2}\]
则称$f(x)$为$Lipschitz$连续.

若对于一个正数$\delta$，和一个在$r>0$上满足$F(r)>0$的连续函数：
\[\int_{0}^{\delta}\frac1{F(r)}dr=\infty\]
并且对$f(x)$满足：
\[\abs{f(x_1)-f(x_2)} \leqslant F(\abs{x_1-x_2})\]
则称$f(x)$为$Osgood$连续.

显然，$Lipschitz$连续是$Osgood$连续的一种特殊情形.
现在的问题是找出一个函数$f(x)$使其满足$Osgood$连续但不满足$Lipschitz$连续.

现有一函数其导函数不能被直线所控制，但是能被对数曲线所控制，这正好是构造的一种思想.
容易验证$f(x)=x\ln x$不满足$Lipschitz$连续且$F(r)=r\ln r$满足$Osgood$连续中所需要的条件.
从而问题转化为是否有：
\[\abs{f(x_1)-f(x_2)} \leqslant F(\abs{x_1-x_2})\]
即：
\[\abs{x_1\ln x_1-x_2\ln x_2} \leqslant \abs{(x_1-x_2)\ln \abs{x_1-x_2}}\]
等价的，即比较$|\ln \dfrac{x^x}{y^y}|$与$\abs{ln \abs{x-y}^{\abs{x-y}}}$的大小.

当考虑$0<y<x<1$的条件时，便转化为比较$|\ln \dfrac{x^x}{y^y}|$与$\abs{ln (x-y)^{x-y}}$的大小.
考虑到绝对值对数函数在其小于1的范围的递减性质，
从而问题变为考虑$\dfrac{x^x}{y^y}$与$(x-y)^{x-y}$的大小关系.(*)
其实写到这里我突然发现由于幂指函数的非单调性，其实(*)与原不等式并不等价，汗....
还是比较$\dfrac{x^x}{y^y}$与$\abs{x-y}^{\abs{x-y}}$好了...

也可以用置顶的草稿本来试玩

2# kuing


很久以前就说要学...拖了好久

我也想学很多东西，同拖

来回编辑贴子很麻烦，建议你试试用置顶草稿本……

等价的，即比较$|\ln \dfrac{x^x}{y^y}|$与$|ln |x-y|^{|x-y|}|$的大小.

貌似后者外面并没绝对值？

PS、绝对值也可以用 \abs{...} 长度自动适应

来回编辑贴子很麻烦，建议你试试用置顶草稿本……
kuing 发表于 2013-3-22 21:28

和这个贴子里编辑有什么区别吗？
还是说一次试验发一次贴？

等价的，即比较$|\ln \dfrac{x^x}{y^y}|$与$|ln |x-y|^{|x-y|}|$的大小.

貌似后者外面并没绝对值？

PS、绝对值也可以用 \abs{...} 长度自动适应
kuing 发表于 2013-3-22 21:34

对数出来是个负值就没太大意义了

和这个贴子里编辑有什么区别吗？
还是说一次试验发一次贴？
秋风树林 发表于 2013-3-22 21:36

http://kkkkuingggg.5d6d.net/thread-1204-1-1.html
进去看看……

和这个贴子里编辑有什么区别吗？
还是说一次试验发一次贴？
秋风树林 发表于 2013-3-22 21:36

突然发现是某个式子忘了加绝对值...

来回编辑贴子很麻烦，建议你试试用置顶草稿本……
kuing 发表于 2013-3-22 21:28

那玩意，我在电脑里，有多行公式时，卡得不行……

所以，我干脆就用CTEX

我试试这里能用 \renewcommand{\baselinestretch}{2.1}不

$\renewcommand{\baselinestretch}{2.1}
12\\34\\56\\78\\9
$

那玩意，我在电脑里，有多行公式时，卡得不行……

所以，我干脆就用CTEX

我试试这里能用 \renewcommand{\baselinestretch}{2.1}不

$\renewcommand{\baselinestretch}{2.1}
12\\34\\56\\78\\9
$
isea 发表于 2013-3-26 00:22

我这里还好……打比较长篇就是反应会有点点慢，但不至于很卡。

那个命令在这里应该没用。

12# kuing
学latex是件体力活

在5、6行以内还不算很慢的，10行了就很慢了，尤其用了什么begin语句

14# yes94

大概跟浏览器和电脑配置有关……我这里打很长也不觉得很卡

一举两得（摘录realnumber在“有ln的常见不等式”中的回复）
\[(\dfrac{\ln(2x+1)}2)'=\dfrac1{2x+1}\]有\[\dfrac1{2n+1}\geqslant\dfrac12\ln(1+\dfrac2{2n+1})=\dfrac{2n+3}2-\dfrac{2n+1}2\]所以\[1+\dfrac13+\dfrac15+\cdots+\dfrac1{2n-1}>1+\dfrac13+\dfrac{\ln(2n+1)}2-\dfrac{\ln5}2\\\dfrac13+\dfrac15+\cdots+\dfrac1{2n+1}>\dfrac13+\dfrac{\ln(2n+3)}2-\dfrac{\ln5}2\]两式相加

接着练（摘录kuing）
依题意设$c=ub$，则$u\geqslant1,b\geqslant1$，由构成三角形条件知$1+b\geqslant ub$，于是\[1\leqslant u<\dfrac1b+1\]而
\[\max\left\{\dfrac ab,\dfrac bc,\dfrac ca\right\}=\dfrac ca=ub\\\min\left\{\dfrac ab,\dfrac bc,\dfrac ca\right\}=\min\left\{\dfrac ab,\dfrac bc\right\}=\min\left\{\dfrac1b,\dfrac1u\right\}\]于是\[t=ub\min\left\{\dfrac1u,\dfrac1u\right\}=\min\left\{b,u\right\}\]因$b\geqslant1,u\geqslant1$，故$t\geqslant1$，当且仅当$b=u=1$时取等；
又\[t\leqslant u<\dfrac1b+1\leqslant\dfrac1t+1\riff t<\dfrac{\sqrt5+1}2\]当$b=u\to(\sqrt5+1)/2$时$t\to(\sqrt5+1)/2$。