[不等式] 秋风问的一个问题

虽然我并不清楚他原先想构造的东东是啥意思（各种看不懂），但是按照他说的，目前需要解决的问题大意是：

是否存在 $m>0$ 使得当 $x$, $y\in(0,m)$ 且 $x\ne y$ 时恒有 $\dfrac{x^x}{y^y}>\abs{x-y}^\abs{x-y}$？

下面来解决一下。

（1）若 $x>y>0$，则不等式等价于
\[\frac{x^x}{y^y}>(x-y)^{x-y},\]
整理为
\[1>\left(\frac yx\right)^y\left(1-\frac yx\right)^{x-y},\]
显然成立；（这一步由秋风自己给出）

（2）若 $0<x<y<m$，则不等式等价于
\[\frac{x^x}{y^y}>(y-x)^{y-x},\]
整理为
\[\left( \frac xy \right)^y>\bigl(x(y-x)\bigr)^{y-x},\]
令 $y=x+tx$，其中 $t>0$，代入上式可以化简为
\[\left( \frac1{1+t} \right)^{1+t}>(tx^2)^t,\]
由 $y<m$ 得 $x<m/(1+t)$，那么 $m$ 只需满足
\[\left( \frac1{1+t} \right)^{1+t}\geqslant t^t\left( \frac m{1+t} \right)^{2t}\]
对 $t>0$ 恒成立即可。继续化简为
\[m^2\leqslant\frac{(1+t)^{1-\frac1t}}t,\]
因此，只要求出上式右边的一个下界，如果这个下界为正，问题便解决。为此，我们令
\[g(t)=\frac{t-1}t\ln (1+t)-\ln t.\]

（i）当 $t\leqslant 1$ 时，求导得
\[g'(t)=\frac{(1+t)\ln (1+t)-2t}{t^2(1+t)}\leqslant \frac{(1+t)t-2t}{t^2(1+t)}=\frac{t-1}{t(1+t)}\leqslant 0,\]
从而有 $g(t)\geqslant g(1)=0$；

（ii）当 $t>1$，则
\[g(t)>\frac{t-1}t\ln t-\ln t=-\frac{\ln t}t,\]
易证 $(\ln t)/t\leqslant 1/e$，故得到
\[g(t)>-\frac1e.\]

综合（i）（ii）得到对 $t>0$ 总有
\[g(t)>-\frac1e\riff\frac{(1+t)^{1-\frac1t}}t>e^{-1/e},\]
所以，只要 $m\leqslant e^{-1/(2e)}\approx 0.83198$ 就能使原不等式恒成立。

注：本来我心头有点高，想求出 $m$ 的最大值，也就是想直接求出 $g(t)$ 的最小值，可惜是超越的，所以只求了个下界。

我来给一下问题的原始背景.

一个函数的连续有许多类型，比如一致连续就是比连续更强的连续.

在微分方程理论中，有两种连续对解的存在唯一性起着至关重要的作用.

先给出两种连续的定义：

（1）设$G$是一个区域且$f(x)$为$G$上的连续函数，$L$为一常数，如果$f(x)$满足以下条件：
\[\abs{f(x_1)-f(x_2)} \leqslant L\abs{x_1-x_2}\]
则称$f(x)$为$Lipschitz$连续.

（2）若对于一个正数$\delta$，和一个在$r>0$上满足$F(r)>0$的连续函数：
\[\int_{0}^{\delta}\frac1{F(r)}dr=\infty\]
并且对$f(x)$满足：
\[\abs{f(x_1)-f(x_2)} \leqslant F(\abs{x_1-x_2})\]
则称$f(x)$为$Osgood$连续.

显然，$Lipschitz$连续是$Osgood$连续的一种特殊情形.

现在的问题是找出一个函数$f(x)$使其满足$Osgood$连续但不满足$Lipschitz$连续.

现有一函数其导函数不能被直线所控制，但是能被对数曲线所控制，这正好是构造的一种思想.

容易验证$f(x)=x\ln x$不满足$Lipschitz$连续且$F(r)=\abs{r\ln r}$满足$Osgood$连续中所需要的条件.

从而问题转化为是否有：
\[\abs{f(x_1)-f(x_2)} \leqslant F(\abs{x_1-x_2})\]
即：
\[\abs{x_1\ln x_1-x_2\ln x_2} \leqslant \abs{(x_1-x_2)\ln \abs{x_1-x_2}}\]
等价的，即比较$|\ln \dfrac{x^x}{y^y}|$与$\abs{ln \abs{x-y}^{\abs{x-y}}}$的大小.

进一步地，可考虑$\dfrac{x^x}{y^y}$与$\abs{x-y}^{\abs{x-y}}$的大小关系，这里$x$与$y$的关系任意.

从而引出了现在的问题，背景介绍完毕.

2# 秋风树林

是不是干脆说 $F(r)=\abs{r\ln r}$ 好些……

2# 秋风树林

是不是干脆说 $F(r)=\abs{r\ln r}$ 好些……
kuing 发表于 2013-3-22 21:57

嗯，我去改一下