[数列] 来自人教群的一道两数列相同项

(112.51 KB)

2013-3-21 23:22

学生-天天在线(3308*****)
14.（理）已知数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$，且通项公式分别为 $a_n=3n-2$, $b_n=n^2$，现抽出数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ 中所有相同的项并按从小到大的顺序排列成一个新的数列 $\{c_n\}$，则可以推断：

（1）$c_{50}=$______（填数字）；

（2）$c_{2k-1}=$______（用 $k$ 表示）。

假设 $a_m=b_n\iff 3m-2=n^2$。

设 $k\in\mbb N$，若 $n=3k+1$，代入解得 $m=3k^2+2k+1\in\mbb N^+$；若 $n=3k+2$，代入解得 $m=3k^2+4k+2\in\mbb N^+$；若 $n=3k+3$，代入解得 $m=3(k+1)^2+2/3\notin\mbb N^+$。

由此可见，相同项构成的新数列为不被 $3$ 整除的正整数的平方，即 $\{1^2,2^2,4^2,5^2,7^2,8^2,10^2,11^2,\ldots\}$，
容易写出其通项公式为
\[c_n=\begin{cases}
(3k-2)^2, & n=2k-1,\\
(3k-1)^2, & n=2k.
\end{cases}\]

话说，当我写到最后的时候，突然觉得我以前可能写过相同的东西，但是都写完了，算了，不找了……

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）