[几何] 深圳一模的解析几何

今天才看到深圳一模的题目。看来我的信息真的不够灵通。
看了解析几何的大题，有点兴趣，随手做一下。


______kuing edit in $\LaTeX$______
2003 年深圳一模。
已知两点 $F_1(-1,0)$ 及 $F_2(1,0)$，点 $P$ 在以 $F_1$、$F_2$ 为焦点的椭圆 $C$ 上，且 $\abs{PF_1}$、$\abs{F_1F_2}$、$\abs{PF_2}$ 构成等差数列。

（1）求椭圆 $C$ 的方程；

（2）如图 7，动直线 $l:y=kx+m$ 与椭圆 $C$ 有且仅有一个公共点，点 $M$, $N$ 是直线 $l$ 上的两点，且 $F_1M\perp l$, $F_2N\perp l$。求四边形 $F_1MNF_2$ 面积 $S$ 的最大值。

嗯，$F_1M*F_2N=b^2$

尝试一下草稿纸，
解：设$|F_1M|=m,|F_2N|=n,|MN|=h$
则$mn=b^2,(m-n)^2+h^2=4c^2$,
可得\[(m+n)^2+h^2=4a^2\]故$F_1MNF_2$的面积$$S=\frac{(m+n)h}{2}\le\frac{(m+n)^2+h^2}{4}=a^2$$仅当$\frac{m+n}{2}=h$时取"=".

(20.86 KB)

2013-3-19 12:13

$S={}$那个大直角三角形的面积，而它的斜边为定值 $2a$，所以当且仅当两直角边相等时面积取最大值 $a^2$。

PS、其实跟楼上差不多。

一个几何 ，一个代数+结论 ，

强大啊！

关于该图形，似乎还有个什么不等式的，上下界的，忘了

才发现，这个也是深圳一模题。
http://kkkkuingggg.5d6d.net/thread-1175-1-2.html
$$\sum_{i=1}^{n}\frac{4i}{4i^2-1}>ln(2n+1)$$
之前采用对应项+换元，搞定。

8# 第一章
正好那里有个问题没解决：\[\sum_{k=1}^{n}\frac{4k}{4k^2-1}>\ln(2n+1)，\]
那么下述不等式是否成立（原不等式的反向）？若成立请证明：
\[\sum_{k=1}^{n}\frac{4k}{4k^2-1}<1+\dfrac12\ln(2n+1)(2n+3)\]

对应项证不了，
从第二项开始，左边的每一项都比右边的每一项大，不过误差接近0；
就是左边的第一项＜右边的第一项，小太多。
不过我相信这个题目是正确的。

2# 第一章
$\abs{F_1M} \cdot \abs{F_2N}=b^2$有没有几何解释？

问K吧，纯几何的他搞得比较多。
我只知道这个结论。
很多解析几何的题目，是先有结论，再有题目的。

2# 第一章
$\abs{F_1M} \cdot \abs{F_2N}=b^2$有没有几何解释？
hongxian 发表于 2013-3-19 15:52

这样算不算
设 $P$ 为切点，则
\begin{align*}
F_1M\cdot F_2N&=PF_1\sin \angle MPF_1\cdot PF_2\sin \angle NPF_2 \\
& =PF_1\cdot PF_2\sin ^2\frac{\pi -\angle F_1PF_2}2 \\
& =PF_1\cdot PF_2\frac{1+\cos \angle F_1PF_2}2 \\
& =\frac12PF_1\cdot PF_2+\frac14(PF_1^2+PF_2^2-F_1F_2^2) \\
& =\frac14\bigl((PF_1+PF_2)^2-F_1F_2^2\bigr) \\
& =a^2-c^2 \\
& =b^2.
\end{align*}

注意这里和前面4#都是依靠光学性质的。

13# kuing

当然算了，也来一个
用一下4#的图，$\displaystyle \begin{cases}\left(F_1M-F_2N\right)^2+h^2=4c^2\\
\left(F_1M+F_2N\right)^2+h^2=4a^2\end{cases}\Longrightarrow F_1M\cdot F_2N=a^2-c^2=b^2$

14# hongxian

oh! that's very nice!

14# hongxian
把第一章的解法部分保留，另一部分反推回去就可以啦！
因为第一章的代数解法就是利用结论证明了kuing的几何方法，
所以用kuing的图形，结合第一章的部分运算过程，得到的将是这个（乘积）结论