[数列] 来自人教群的一道数列重复无数项题

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2013-3-17 22:42

教师-tan9p(3653*****)
$b_1=1$, $b_2=2$, $b_{n+1}b_{n-1}=b_n$, $a_{n+1}-a_n=b_n$。
问：$a_1$ 取何值时，$\{a_n/n\}$ 有重复的无数项？

由递推式易得
\[b_{n+3}=\frac{b_{n+2}}{b_{n+1}}=\frac{\frac{b_{n+1}}{b_n}}{b_{n+1}}=\frac1{b_n}\riff b_{n+6}=b_n,\]
列出 $b_n$ 的前六项为 $1$, $2$, $2$, $1$, $1/2$, $1/2$，于是得到
\[a_{n+6}-a_n=7,\]
写出 $a_n$ 的前六项为 $a_1$, $a_1+1$, $a_1+3$, $a_1+5$, $a_1+6$, $a_1+6.5$，于是得到
\begin{align*}
\frac{a_{6k+1}}{6k+1}&=\frac{7k+a_1}{6k+1}=\frac{6a_1-7}{6(6k+1)}+\frac76 ,\\
\frac{a_{6k+2}}{6k+2}&=\frac{7k+a_1+1}{6k+2}=\frac{3a_1-4}{6(3k+1)}+\frac76 ,\\
\frac{a_{6k+3}}{6k+3}&=\frac{7k+a_1+3}{6k+3}=\frac{2a_1-1}{6(2k+1)}+\frac76 ,\\
\frac{a_{6k+4}}{6k+4}&=\frac{7k+a_1+5}{6k+4}=\frac{3a_1+1}{6(3k+2)}+\frac76 ,\\
\frac{a_{6k+5}}{6k+5}&=\frac{7k+a_1+6}{6k+5}=\frac{6a_1+1}{6(6k+5)}+\frac76 ,\\
\frac{a_{6(k+1)}}{6(k+1)}&=\frac{7k+a_1+6.5}{6(k+1)}=\frac{2a_1-1}{12(k+1)}+\frac76,
\end{align*}
这样，当 $a_1$ 使以上任意一个式子右边第一项分子为 $0$ 即得无数项重复，这是充分条件。

必要性证明待续……
____________
见6#

真不知必要性怎么证……求助帮续……顶一下

当符合第1部分不为零,又有无数个重复,那么6类项里至少有2个有重复,($C_6^2=15$,要检验15类)
若第一第二类有无数重复项,
\[即存在a_1,使得\frac{6a_1-7}{6(6k+1)}=\frac{3a_1-4}{6(3m+1)}中k,m有无数对解.\]
\[即\frac{6a_1-7}{3a_1-4}=\frac{6k+1}{3m+1}\]
$存在a_1=1,m=2k$
发现必要性不成立,临时修改,有无数组解.

看来感觉还是靠不住
这样搞下去是不是很复杂了……

等一下，我突然发现我们对题意的理解好像有偏差。

“有重复的无数项” 用数学语言来说到底等价于什么？

应该是我理解错了?这样题目会太复杂.
如果按kuing的理解--数列中有无数项为同一个值,必要性很好证明啊,6类项第一部分都不为零时,可得都单调,某个值最多出现6次,不会是无数次.

3楼情况应该说,存在无数对相等的项.也许就这样吧.

6# realnumber

是喔我戆鸠了……