[几何] 来自人教群的椭圆短轴圆切线

(215.87 KB)

2013-3-17 16:30

学生-独孤客(6108*****)
21. 已知椭圆 $E$ 的方程为 $x^2/4+y^2/3=1$，右焦点为 $F$，直线 $l$ 与圆 $x^2+y^2=3$ 相切于点 $Q$，且 $Q$ 在 $y$ 轴的右侧，设直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于不同两点 $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$。

（1）若直线 $l$ 的倾斜角为 $\pi/4$，求直线 $l$ 的方程；

（2）求证：$\abs{AF}+\abs{AQ}=\abs{BF}+\abs{BQ}$。

(17.35 KB)

2013-3-17 16:30

由中线长公式，有
\begin{align*}
AF+AQ&=AF+\sqrt{OA^2-OQ^2} \\
&=AF+\sqrt{\frac{2AF^2+2AF_2^2-FF_2^2}4-b^2} \\
&=AF+\sqrt{\frac{2AF^2+2(2a-AF)^2-4c^2}4-b^2} \\
&=AF+\sqrt{AF^2+2a^2-2aAF-c^2-b^2} \\
&=AF+\sqrt{AF^2+a^2-2aAF} \\
&=AF+\sqrt{(a-AF)^2} \\
&=a.
\end{align*}

以前有一道题是求三角形$ABF$ 的周长为$2a$，方法还可用参数方程。

回来了？立马赶来回帖？

$AQ^2=OA^2-OQ^2=x^2+y^2-b^2=x^2-\frac{b^2}{a^2}x^2=e^2x^2$

4# 呆呆

有输入错误，but nice! 呆呆

5# kuing

修改了

顺带说一句，此题即：
椭圆上任意一点到内切圆（以短轴为直径的圆）和外切圆（以长轴为直径的圆）的圆幂可用改点坐标表示。

回来了？立马赶来回帖？
第一章 发表于 2013-3-18 07:26

另外，还是把$2$楼说的数方程的过程完整的写出来吧（呆呆省略了开方和代换的过程）：
设$A(a\cos\theta,b\sin\theta)$，因为点$Q$在$y$轴的右侧，故$\cos\theta>0$。所以，
\begin{align*}
\abs{AF}+\abs{AQ}&=a-ea\cos\theta+\sqrt{OA^2-OQ^2}\\
&=a-c\cos\theta+\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta-b^2}\\
&=a-c\cos\theta+\sqrt{a^2-b^2}\cos\theta\\
&=a
\end{align*}
环境用起来，还真是舒服！