[函数] 正弦和

如图

据说用复数，详情不记得……

抄来的（代码自己打的）：

设 $\veps=\cos(2\pi/n)+i\sin(2\pi/n)$，则 $x^n=1$ 的所有根为 $1$, $\veps$, $\veps^2$, $\ldots$, $\veps^{n-1}$，所以
\[x^n-1=(x-1)(x-\veps)(x-\veps^2)\cdots(x-\veps^{n-1}),\]
又
\[x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+1),\]
所以
\[x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+1=(x-\veps)(x-\veps^2)\cdots(x-\veps^{n-1}),\]
上式令 $x=1$ 得
\[(1-\veps)(1-\veps^2)\cdots(1-\veps^{n-1})=n,\]
取模得
\[\abs{1-\veps}\abs{1-\veps^2}\cdots\abs{1-\veps^{n-1}}=n,\]
由隶莫佛公式有
\begin{align*}
\abs{1-\veps^k}&=\abs{1-\cos\frac{2k\pi}n-i\sin\frac{2k\pi}n}\\
&=\sqrt{\left(1-\cos\frac{2k\pi}n\right)^2+\sin^2\frac{2k\pi}n}\\
&=\sqrt{2-2\cos\frac{2k\pi}n}\\
&=2\abs{\sin\frac{k\pi}n},
\end{align*}
于是
\[\abs{1-\veps}\abs{1-\veps^2}\cdots\abs{1-\veps^{n-1}}=2^{n-1}\sin\frac\pi n\sin\frac{2\pi}n\cdots\sin\frac{(n-1)\pi}n,\]
即得
\[\sin\frac\pi n\sin\frac{2\pi}n\cdots\sin\frac{(n-1)\pi}n=\frac n{2^{n-1}}.\]

PS、明明是正弦积……

积化和差能不能干？

数归，搞得定吧。

用复数证明，很好！
这样的恒等式（连乘）太多啦！
例如：\[\prod_{k=1}^{n-1}\abs{\cos\dfrac{k\pi}{n}}=\dfrac{1-(-1)^n}{2^n}\]，
显然当$n$为偶数时，\[\prod_{k=1}^{n-1}\abs{\cos\dfrac{k\pi}{n}}=0\]，
行间公式的效果也不错！

之前何版主在群里发过几个类似的，人教论坛里好像也有，有空翻翻

that's easy to 翻翻：http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=250665

才发现，楼主的标题是正弦和，不是正弦积