刚才352问的一道向量题

(13.17 KB)

2013-3-14 21:19

在梯形 $ABCD$ 中，$AD\sslash BC$, $\angle ABC=\pi/3$, $AD=1$, $BC=2$，$P$ 是腰 $AB$ 所在直线上的动点，则 $\bigl|3\vv{PC}+2\vv{PD}\bigr|$ 的最小值为______。

(5.25 KB)

2013-3-14 21:19

\begin{align*}
3\vv{PC}+2\vv{PD}&=3\bigl(\vv{PB}+\vv{BC}\bigr)+2\bigl(\vv{PA}+\vv{AD}\bigr)\\
&=3\bigl(\vv{AB}-\vv{AP}+2\vv{AD}\bigr)+2\bigl(-\vv{AP}+\vv{AD}\bigr)\\
&=3\vv{AB}-5\vv{AP}+8\vv{AD},
\end{align*}
延长 $AD$ 到 $D'$ 使 $AD'=8AD$，则 $\bigl|3\vv{AB}-5\vv{AP}+8\vv{AD}\bigr|$ 表示的是 $D'$ 到直线 $AB$ 上某个点的距离，而因为 $P$ 是直线 $AB$ 上的动点，所以 $3\vv{AB}-5\vv{AP}$ 可以取遍所有与 $\vv{AB}$ 平行的向量，也就是说那个点也可以取遍直线 $AB$，故此所求的最小值就是 $D'$ 到直线 $AB$ 的距离，亦即是 $D$ 到直线 $AB$ 距离的 $8$ 倍。

不得不佩服kuing
这个题我也想过那个系数3和2，应该有些玄机，也想过把2个分解，但我的思路还是固执地走在计算数量积啊，模啊什么的上面

这个几何解释好！

学一下k的分解：

4# 第一章
正准备输入的时候，发现和你的做法大同小异了

5# yes94
还是输入一下，看下latex的“环境”的威力：
$\begin{align*}
3\vv{PC}+2\vv{PD}&=3\bigl(\vv{PB}+\vv{BC}\bigr)+2\bigl(\vv{PA}+\vv{AD}\bigr)\\
&=3\bigl(\vv{AB}-\vv{AP}+2\vv{AD}\bigr)+2\bigl(-\vv{AP}+\vv{AD}\bigr)\\
&=3\vv{AB}-5\vv{AP}+8\vv{AD}\\
&=k\vv{AB}+8\vv{AD}(令\vv{AP}=\dfrac{3-k}{5}\vv{AB}),
\end{align*}$
于是，
$\begin{align*}
\abs{3\vv{PC}+2\vv{PD}}^2
&=\abs{k\vv{AB}+8\vv{AD}}^2\\
&=k^2\abs{\vv{AB}}^2+16k\abs{\vv{AB}}\cdot\abs{\vv{AD}}\cos120\du+64\abs{\vv{AD}}^2\\
&=t^2-8t+64（令t=k\abs{\vv{AB}}）\\
&=(t-4)^2+48\\
&\geqslant48,
\end{align*}$
故$\abs{3\vv{PC}+2\vv{PD}}\geqslant4\sqrt3$，等号是可以取到的吧.

6# yes94

环境是可以不用在两边加 $，就会居中，就像草稿本的示例那样

不得不佩服kuing
这个题我也想过那个系数3和2，应该有些玄机，也想过把2个分解，但我的思路还是固执地走在计算数量积啊，模啊什么的上面
三下五除二 发表于 2013-3-14 22:04

那个系数3和2，的确有些玄机，你这个思路也是可行的，
取点$E$在线段$CD$上，且$DE:EC=3:2$
$\abs{\dfrac35\vv{PC}+\dfrac25\vv{PD}}=\abs{\vv{PE}}\geqslant\dfrac45\sqrt3$,
当且仅当$EP\perp{AB}$上式取等号，此时可以计算出$\abs{\vv{PE}}=\dfrac45\sqrt3$。
故$\abs{3\vv{PC}+2\vv{PD}}=5\abs{\vv{PE}}\geqslant4\sqrt3$，
本方法还找到了真正的$P$点应该在直线$AB$的何处。

(11.35 KB)

2013-3-15 00:41

搞忘了上图，还不得不重新编辑一下，
回复k：在两边加 $，加惯了，最容易记得这个东东了，其他很难记

2# 三下五除二

(7.77 KB)

2013-3-15 01:45

“思路还是固执地走在计算数量积啊，模啊什么的上面 ”，其实计算数量积、模啊什么的也是可行的：
如图，记$\alpha=\angle{BPC}$，$\beta=\angle{DPA}$，由正弦定理可得，
\[PC=\dfrac{\sqrt3}{\sin\alpha},PD=\dfrac{\sqrt3}{2\sin\beta},\]
于是，
\begin{align*}
\abs{3\vv{PC}+2\vv{PD}}^2
&=9\abs{\vv{PC}}^2+4\abs{\vv{PD}}^2+12{\vv{PC}}\cdot{\vv{PD}}\\
&=\dfrac{27}{\sin^2\alpha}+\dfrac{3}{\sin^2\beta}+\dfrac{18\cos(\pi-\alpha-\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}\\
&=\dfrac{27}{\sin^2\alpha}+\dfrac{3}{\sin^2\beta}-\dfrac{18(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}\\
&=27\csc^2\alpha+3\csc^2\beta-18\cot\alpha\cot\beta+18\\
&=27(1+\cot^2\alpha)+3(1+\cot^2\beta)-18\cot\alpha\cot\beta+18\\
&=48+3(3\cot\alpha-\cot\beta)^2\\
&\geqslant48,
\end{align*}
当且仅当$3\cot\alpha=\cot\beta$，即$\tan\alpha=3\tan\beta$时，取等号。
周五下午要出去耍两天周末，论坛就暂别两天啦。

如图，A、B、C、D、P、F、G分别在等距的平行线上滑动。

话说你们都不用睡觉的？

都是高手啊，想起古人说的一句话：一切皆有可能！！！

11# 第一章

夜猫不少哇 :D
good morning

最近肾不好，起来夜尿的时候就顺便回了个贴。
PS，现在才发现，那个李斌斌实在太暴力了！少儿不宜啊！

14# 第一章

夜尿回帖牛

那个系数3和2，的确有些玄机，你这个思路也是可行的，
取点$E$在线段$CD$上，且$DE:EC=3:2$
$\abs{\dfrac35\vv{PC}+\dfrac25\vv{PD}}=\abs{\vv{PE}}\geqslant\dfrac45\sqrt3$,
当且仅当$EP\perp{AB}$上式取等号 ...
yes94 发表于 2013-3-15 00:39

想了一下，原来yes94兄已经给出这个类似的解法了。

借用这个图，只需要E点，其它虚线不需要。


找出
$3\vv {PC}+2\vv {PD}=5[(1-\dfrac25) \vv {PC}+\dfrac25 \vv {PD}]=5\vv {PE},\vv {CE} =\dfrac25 \vv {CD}$
（即图中的E点由来）所表示的向量，（2004年审订，人教B版97页例2是也）。

将最小，再化为几何意义，即图中，$E$到$AB$距离的5倍。

这个，个人觉得自然些。

PS：李斌斌755 构造，思维实在是开阔。

PPS：几天不打代码手就生了。

16# isea

李的方法应该说是最直接切入主题……要多长，延多长

李是几何法专家！
很多题他都喜欢用图形解决，本题他的方法最直截了当，假如把系数3,2改为300,203……
话说用解析几何方法也是可行的，不动脑，动笔就行了：
以$B$为原点，$BC$为$x$轴建立坐标系，则直线$BA$的方程为$y=\sqrt3x$，于是可设$A(m$，$\sqrt3m)$，$D(m+1$，$\sqrt3m)$，$P(n$，$\sqrt3n)$，所以，
\[3\vv{PC}+2\vv{PD}=(2m-5n+8,\sqrt3(2m-5n)),\]故
\begin{align*}
\abs{3\vv{PC}+2\vv{PD}}^2&=(u+8)^2+(\sqrt3u)^2\\
&=4u^2+16u+64\\
&=(2u+4)^2+48\\
&\geqslant48
\end{align*}
当且仅当$u=2m-5n=-2$取等号。
周日晚上见！

还想到了一种方法，同乘单位法向量方法，然后用向量内积不等式立得