[几何] 12年江苏解几题改成求轨迹，不知有没有纯代数方法？

已知：$A$，$B$，是椭圆$\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$上位于$x$轴同侧的两点，且直线$AF_1$与直线$BF_2$平行，$AF_2$与$BF_1$交于点$P$，求点$P$的轨迹方程。

几何法还是可以做的，用纯代数法消元没成功，方程组列下来，不知有没有高手能消元成功？

解：设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$P(x,y)$
则$\displaystyle\begin{cases}\frac{x_1^2}{2}+y_1^2=1\\
\frac{x_2^2}{2}+y_2^2=1\\
\frac{y_1}{x_1+1}=\frac{y_2}{x_2-1}\\
y=\frac{y_2}{x_2+1}(x+1)\\
y=\frac{y_1}{x_1-1}(x-1) \end{cases}\Longrightarrow ?$，后面消元没成功

将后两式代入前三式消去 $y_1$, $y_2$。

由第三式解出 $x_2$ 代入前两式消去 $x_2$。

此时前两式都是关于 $x_1$ 的二次式，消去二次项后再代入任一个即得。

2# kuing
有点暴力，算到后来还是没有勇气算下去，虽然有时想既然能几何何必代数，但印象当是代数法应该是能够做出来的，晚上再算一下！

我没往下算，只是目测知道可以那样算，计算量可能很大。

既然消元遇到困难，那就得反思这个方程本身的问题，居然发现一个关键条件($x$轴同侧)没有用到，所以方程的轨迹即使求出来也不是答案中的轨迹方程。看样子有待改进，初步估计极坐标+参数方程应该能够解决。

5# hongxian

其实不必担心这一点。
没有使用同侧的条件，说明上述方程组构成的轨迹包含了同侧或异侧两种情况，而事实上，显然异侧的时候那两条线根本没交点，所以其实“同侧或异侧”也等同于同侧。

6# kuing

虽说异侧无交点，但毕竟有这种情况存在，有可能反映在方程中是一个恒不为0的因式。顺便发一个解法看行不行？

解：设$AF_1=r_1$，$BF_2=r_2$，$AF_1$，$BF_2$和$x$轴正向的夹角为$\theta$，则
$\displaystyle\begin{cases}r_1=\frac{\sqrt2}{2-\sqrt2\cos\theta}\\
r_2=\frac{\sqrt2}{2+\sqrt2\cos\theta}\\
y=\frac{r_1\sin\theta}{r_1\cos\theta-2}(x-1)\\
y=\frac{r_2\sin\theta}{r_2\cos\theta+2}(x+1)\end{cases}\Longrightarrow \begin{cases}y=\frac{\sqrt2\sin\theta}{3\sqrt2\cos\theta-4}(x-1)\\
y=\frac{\sqrt2\sin\theta}{3\sqrt2\cos\theta+4}(x+1)\end{cases}$
$\displaystyle\Longrightarrow \begin{cases}\cos\theta=\frac{4x}{3\sqrt2}\\
\sin\theta=\frac{4y}{\sqrt2}\end{cases}\Longrightarrow\frac{8}{9}x^2+8y^2=1$

7# hongxian

计算没问题的话就没问题

原高考题标准解答是几何与代数并用的，并不是单纯的几何法啊？

9# yes94

没看过……