[不等式] 一道集训题

已知$x_1,x_2,……，x_n为正数，且\prod_{i=1}^{n}x_i=1,k\in N^{+}$,求证
$$\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{(x_i+1)^k}\geqslant min(\dfrac{n}{2^k},1)$$

1# reny
好像在哪里看过？hjj的书？

2# yes94
是的。不知道怎么做。

3# reny
hjj的书没答案？

4# yes94
只有n=4,k=2的答案. 不知一般地，怎么分类讨论。。。

做代换 $x_i = \frac{y_i}{y_{i+1}}\quad ( y_{n+1} = y_1)$
不等式变为$$\sum{\frac{y_i^k}{(y_i+y_{i+1})^k}}\geq\mathrm{min}\{1,\frac{n}{2^k}\}$$
是不是好做点？

1# reny
好像在哪里看过？hjj的书？
yes94 发表于 2013-3-13 18:05

hjj?
就是韩京俊吧？
刚刚看到pinyin，我承认我邪恶了，

7# 第一章

含鸡鸡？

设$e^{t_i}=x_i$,$f(t)=\frac{1}{{(1+e^t)}^k}$,
可得$f'(t)<0;f''(t)>0 \iff e^t>\frac{1}{k} $,即函数单调递减,且在$(-∞,t_0)上凸,(t_0,+∞)下凹,其中ke^{t_0}=1$,
以下用调整法,$t_1+t_2+\cdots+t_n=0$
若有$t_p,t_q \in [t_0,+∞),$由jessen不等式可得$f(t_p)+f(t_q)\ge 2f(\frac{t_p+t_q}{2})$,可令
$t'_p=t'_q=\frac{t_p+t_q}{2}$,
若有$t_p,t_q \in (-∞,t_0]$,可令$t'_p=t_p+t_q-x_0,t'_q=t_0$,得$f(t_p)+f(t_q) \ge f(t'_p)+f(t'_q)$
通过这样调整,最后最多有一个$t_i$在$(-∞,t_0)$,
如此,最小值在$t_1= \cdots=t_n=0$或$t_1=(n-1)s,t_2=t_3=\cdots=t_n=s,s<0$
进一步计算可得$s→-∞$取到.(没验算,猜的)

3# reny
找不到hjj的资料了