网友问的一道似乎有几何背景的三角题[算是解决了]

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2013-3-12 22:57

题目：设 $a+b=60\du$, $c+d=60\du$, $e+f=60\du$, $\displaystyle\frac{\sin a}{\sin b}\cdot\frac{\sin c}{\sin d}\cdot\frac{\sin e}{\sin f}=1$。证明
\[\frac{\sin(2a+f)}{\sin(2f+a)}\cdot\frac{\sin(2e+d)}{\sin(2d+e)}\cdot\frac{\sin(2c+b)}{\sin(2b+c)}=1.\]

想到了角元塞瓦定理……不过 还是不会

通过软件辅助，居然找到恒等式

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2013-3-13 15:33

所以大家可以放心做。

数吧的家伙秒了

3# Gauss门徒

给个链接呗

3# Gauss门徒

翻到了http://tieba.baidu.com/p/2213327986

构造图形很妙，可惜不足以说明有负数的情形

通过积化和差与和差化积，再加上换元化简，可知本题等价为：
设 $A$, $B$, $C\in\mbb R$ 满足 $\sin A+\sin B+\sin C=0$，求证
\[\cos(A-2B)+\cos(B-2C)+\cos(C-2A)=\cos(2A-B)+\cos(2B-C)+\cos(2C-A).\]

不知这样会不会简单些

通过积化和差与和差化积，再加上换元化简，可知本题等价为：
设 $A$, $B$, $C\in\mbb R$ 满足 $\sin A+\sin B+\sin C=0$，求证
\[\cos(A-2B)+\cos(B-2C)+\cos(C-2A)=\cos(2A-B)+\cos(2B-C)+\cos(2C-A).\]

不知这样会不会简单些
kuing 发表于 2013-3-16 16:41

用一下欧拉公式……

\begin{align*}
\cos x&=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}2, \\
\sin x&=\frac{i(e^{-ix}-e^{ix})}2.
\end{align*}

为方便书写，记 $e^{iA}=a$, $e^{iB}=b$, $e^{iC}=c$，则
\begin{align*}
\sum \bigl(\cos (A-2B)-\cos (2A-B)\bigr)&=\frac12\sum (e^{i(A-2B)}+e^{i(2B-A)}-e^{i(2A-B)}-e^{i(B-2A)}) \\
& =\frac12\sum \left( \frac a{b^2}+\frac{b^2}a-\frac{a^2}b-\frac b{a^2} \right) \\
& =\frac12\sum \left( \frac{a^3-b^3}{a^2b^2}+\frac{b^3-a^3}{ab} \right) \\
& =\frac1{2a^2b^2c^2}\sum (a^3-b^3)c^2-\frac1{2abc}\sum (a^3-b^3)c,
\end{align*}
因式分解易得
\begin{align*}
\sum (a^3-b^3)c^2&=(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca), \\
\sum (a^3-b^3)c&=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c),
\end{align*}
所以
\[\sum (\cos (A-2B)-\cos (2A-B))=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{2abc}\left( \frac1a+\frac1b+\frac1c-a-b-c \right),\]
而
\[\sin A+\sin B+\sin C=\frac i2\left( \frac1a-a+\frac1b-b+\frac1c-c \right),\]
故此……

至于1#与7#为何等价，我暂时懒得写你们自己可以推一下……

没人鸟……

10# kuing
曲高和寡？还是高处不胜寒啊？

http://tt.a.5d6d.com/userdirs/e/3/kkkkuingggg/attachments/forumid_26/13013120425527fe55b24d06d8.jpg没人鸟……
kuing 发表于 2013-4-1 21:01

哈哈，不是了，一是知足了，看到那个图是知足了，二是懒得灌水

12# isea
我喜欢灌水，