[函数] 求函数$f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+……+|2011x-1|$的最小值。

求函数$f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+……+|2011x-1|$的最小值。
多种方法，方法不限，

好像是什么自主招生题还是什么？

PS、二元运算符之间的省略号用 \cdots ，不要用中文的省略号……

2# kuing
对，是自主招生题，复制的，忘了改成\cdots和\abs{}

1# yes94

是不是要分区间呀，先判断大于1和小于0都取不到最小值，然后把0到1按1/n分区间讨论？

4# abababa
方法没有界定的，只要言之成理即可

5# yes94

$f(x)=\begin{cases}(1+2+\cdots+2011)x-2011&x \in [1,+\infty)\\
[(-1-2-\cdots-n)+(n+1)+(n+2)+\cdots+2011]x+n-(2011-n)&x\in\left[\frac{1}{n+1},\frac1n\right]\\
-(1+2+\cdots+2011)x+2011&n \in\left(-\infty,\frac{1}{2011}\right]
\end{cases}$ $n\in N^*,n\leqslant 2010$再讨论$f(x)$的单调性

$a$, $b\in\mbb R$, $A>B>0$ 时 $f(x)=A\abs{x-a}+B\abs{x-b}$ 当 $x=a$ 取最小值 $B\abs{a-b}$。
没想到这个过，我是这样
这一步需要事先做个系列，用数轴上的距离解释最好，$│x-a│+│x-b│,在a\le x\le b$取最小.
$│x-a│+│x-b│+│x-c│,(a\le b\le c)$在$x=b$最小，可以推广到奇数个绝对值与偶数个

7# realnumber
那个解释很好，
只是万一系数A、B不是整数怎么办？不是有理数怎么办？
另外，不是正数又怎么办？

6# hongxian
这方法还是可以的，

8# yes94
也许要一步推广,比如这样$y=e\abs{x-1}+\sqrt8\abs{x-2}+\pi\abs{x-3}+\sqrt{10}\abs{x-5}$,用几何画板做些实验,应该有简单规律的.

10# realnumber
有什么规律？

10# realnumber
几个无理数的数据太接近了！
最小值：$2(\sqrt2+\sqrt{10}+e)$

\begin{align*}
       f(x)= & |x-1|+|2x-1|+|3x-1|+\cdots+|2011x-1| \\
       = & \left|x-1\right|+2\left|x-\frac{1}{2}\right|+3\left|x-\frac{1}{3}\right|+\cdots+2011\left|x-\frac{1}{2011}\right|\\
       =&\left[2011\left|x-\frac{1}{2011}\right|+2010\left|x-\frac{1}{2010}\right|+\cdots+1423\left|x-\frac{1}{1423}\right|+220\left|x-\frac{1}{1422}\right|\right]+\\
        &+\left[1202\left|\frac{1}{1422}-x\right|+1421\left|\dfrac{1}{1421}-x\right|+\cdots+\left|1-x\right|\right]\\
    {\color{red} { ( \quad|a|\ge a) }}\ge &\left[2011\left(x-\frac{1}{2011}\right)+2010\left(x-\frac{1}{2010}\right)+\cdots+1423\left(x-\frac{1}{1423}\right)+220\left(x-\frac{1}{1422}\right)\right]\\
        &+\left[1202\left(\frac{1}{1422}-x\right)+1421\left(\dfrac{1}{1421}-x\right)+\cdots+\left(1-x\right)\right]\\
        =&832\frac{ 491}{711}  {\color{red}{(iff \quad x=\frac{1}{1422}\quad eauality \quad holds)}}
     \end{align*}

13# zwl1972

似乎用不了 textcolor 命令，改用 \color{red}{...} 吧

13# zwl1972

似乎用不了 textcolor 命令，改用 \color{red}{...} 吧
kuing 发表于 2013-4-24 18:11

kk 速度也太快了

13# zwl1972

北大自主招生题

17# 李斌斌755
对，