[不等式] 上确界问题

设$a,b,c\geqslant0,且abc=1$,可以证明$$\dfrac1{a^2-a+1}+\dfrac1{b^2-b+1}+\dfrac1{c^2-c+1}\leqslant3$$，下面有这么一个问题：
设$a,b,c\geqslant0,且a+b+c=3$,求$$\dfrac1{a^2-a+1}+\dfrac1{b^2-b+1}+\dfrac1{c^2-c+1}$$的上确界$M，这是安振平老师类比提出的问题，我算了一下，M$取近似值3.0456，是否正确？请教诸位.

调整法呗
不妨设 $a\leqslant b\leqslant c$，则 $a+b\leqslant2$，由此易证 $f(a)+f(b)\leqslant 2f((a+b)/2)$，然后变成单变量函数最大值，会遇到三次方程的。

2# kuing
这个函数在[0,3]上的凸凹性不一致，那不是就要分类讨论？   问：上确界会是一个简洁的数吗，我做出来不是滴.

3# reny

无需理会凹凸性，直接作差证。就像昨晚我在这里 http://kkkkuingggg.5d6d.net/view ... &page=1#pid7643 证那个引理那样

我刚才略算了一下后面会遇到了三次方程，就没继续算下去了，如无意外下不会是简单的数

我去仔细看一下那种方法。

2# kuing
$f(a)+f(b)\leqslant 2f((a+b)/2)$在[0,2]上不成立吧，那不就等价于它在[0,2]上是凹函数了？
我算了一下，感觉不对劲

2# kuing
f(a)+f(b)\leqslant 2f((a+b)/2)在[0,2]上不成立吧，那不就等价于它在[0,2]上是凹函数了？
我算了一下，感觉不对劲
reny 发表于 2013-3-11 21:38

$f(a)+f(b)\leqslant 2f((a+b)/2)$ 对于 $a$, $b\in[0,2]$ 不成立，但是对 $a$, $b\geqslant0$ 且 $a+b\leqslant2$ 成立。

条件变了，跟凹凸性就没有必然关系了，就像 $\cos x$ 在 $(0,\pi)$ 上有凹有凸，但是对 $\triangle ABC$ 必有
\[\cos A+\cos B=2\cos\frac{A-B}2\cos\frac{A+B}2\leqslant2\cos\frac{A+B}2\]
这其实就是说，条件变强，不等式适用的范围能变广。