[不等式] 由2次变为3次的不等式

若$a,b,c\ge0,a+b+c=1,$我们知道
\[(1-a^2)^2+(1-b^2)^2+(1-c^2)^2\leqslant3(1-\frac1 {3^2})^2\]
而$(1-a^3)^3+(1-b^3)^3+(1-c^3)^3\leqslant3(1-\frac1 {3^3})^3$还成立吗？

半凹半凸性没有变，但是最后化简后得到一个不等式$$2(1-\frac{(1-c)^3}{8})^3+(1-c^3)^3\leqslant3(1-\frac1 {3^3})^3$$
这等价于
$$-\frac1 {1679616 }(-1 + 3 c)^2 (569417 + 523101 c - 332775 c^2 -
      327267 c^3 - 503901 c^4 + 40095 c^5 + 130491 c^6 + 185895 c^7)\leqslant0$$