[不等式] 刚才352发来的一道简单最值

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2013-3-8 14:17

令 $a=\sin\alpha $, $b=\sin\beta $, $c=\sin\gamma $，则 $a$, $b$, $c\in[-1,1]$，问题等价于求
\[f(a,b,c)=\sqrt{\abs{a-b}}+\sqrt{\abs{b-c}}+\sqrt{\abs{c-a}}\]
的最大值。

由于任意交换两元位置原式的值不变，所以可以不妨设 $1\geqslant a\geqslant b\geqslant c\geqslant -1$，则
\[f(a,b,c)=\sqrt{a-b}+\sqrt{b-c}+\sqrt{a-c},\]
显然关于 $a$ 递增，关于 $c$ 递减，所以
\[f(a,b,c)\leqslant f(1,b,-1)=\sqrt{1-b}+\sqrt{b+1}+\sqrt2
\leqslant \sqrt{(1-b+b+1)(1+1)}+\sqrt2=2+\sqrt2,\]
当 $a=1$, $b=0$, $c=-1$ 时取等。

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

kuing

管理员

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帖子: 3992

2^#

发表于 2013-3-8 16:16

三元太简单，推广一下试试。

尝试四元，先轮换吧，$a$, $b$, $c$, $d\in[-1,1]$，求
\[f(a,b,c,d)=\sqrt{\abs{a-b}}+\sqrt{\abs{b-c}}+\sqrt{\abs{c-d}}+\sqrt{\abs{d-a}}\]
的最大值。

注意，现在是轮换对称，所以不可以像上面那样不妨设，但是，咳！其实这样更简单，显然 $\sqrt{\abs{a-b}}\leqslant \sqrt2$ 等等，故 $f(a,b,c,d)\leqslant 4\sqrt2$，当 $a=c=1$, $b=d=-1$ 时取等。

还是玩全对称的吧，$a$, $b$, $c$, $d\in[-1,1]$，求
\[f(a,b,c,d)=\sqrt{\abs{a-b}}+\sqrt{\abs{a-c}}+\sqrt{\abs{a-d}}+\sqrt{\abs{b-c}}+\sqrt{\abs{b-d}}+\sqrt{\abs{c-d}}\]
的最大值。

不妨设 $1\geqslant a\geqslant b\geqslant c\geqslant d\geqslant -1$，则
\[f(a,b,c,d)=\sqrt{a-b}+\sqrt{a-c}+\sqrt{a-d}+\sqrt{b-c}+\sqrt{b-d}+\sqrt{c-d},\]
显然关于 $a$ 递增，关于 $d$ 递减，所以
\[f(a,b,c,d)\leqslant f(1,b,c,-1)=\sqrt{1-b}+\sqrt{1-c}+\sqrt{b-c}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}+\sqrt2,\]
卡住了，不是简单的事情。

看来元数的推广并不容易哟，待续……

realnumber

论坛元老

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帖子: 590

3^#

发表于 2013-3-8 21:25

2# kuing
先换个元,c换为-c,容易得b>0,c>0才可能取最大
固定b+c,对b求导,得到$\frac{1}{\sqrt{1+b}}+\frac{1}{\sqrt{1-c}}=\frac{1}{\sqrt{1-b}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}$,仅b=c时,导数为0(若b>c代入不成立;b<c也不成立),且是取极大值处.
那么问题即为求$f(b)=2\sqrt{1-b}+2\sqrt{1+b}+\sqrt{2b},b\in [0,1]$的最大值.接下来,求导得$\frac{1}{\sqrt{1+b}}+\frac{1}{\sqrt{2b}}=\frac{1}{\sqrt{1-b}}$,在[0,1]有唯一解,去根号后是个b的四次方程.
--还是没习惯事先打草稿

.删去重发,好象也和打草稿效果类似.