[函数] f(x)>0恒成立,求k的取值范围

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2013-3-7 14:24

分子$x^2$与$x$项之间缺了+号.

$k=-1,k=\frac{1}{2}$时,$f(x)>0$不恒成立.
因为$x$趋于无穷,$f(x)>0$成立,那么$\frac{k+1}{2k-1}>0$,又若,分子或分母能分解成一次因式乘积,除非2个因式对应两根一样,否则$f(x)>0$,也不会恒成立.
所以有分子分母的判别式都不大于0.----好象写得乱.
\[\frac{k+1}{2k-1}=\frac{k+3}{k+1}=\frac{2k-8}{k-4}=2,解得k=1,也符合题意.\]
\begin{cases}\frac{k+1}{2k-1}>0\\ (k+3)^2-4(k+1)(2k-8)\le0\\(k+1)^2-4(2k-1)(k-4)\le0\end{cases}

2# realnumber
主要是楼上用的是必要条件解题，所以觉得乱。
   不过，特殊的、恰如其分的必要条件会成为充要条件（这是需要不断尝试和自身解题功底的）。
   好像从图像也可以解释楼上的过程似乎是对的。
   如果分子、分母的两个二次函数（楼主已经的出一次函数不可行）的判别式均非负，则需要二次项系数同号（楼主用了必要条件：\[\lim_{x\to\infty}f(x)=\dfrac{k+1}{2k-1}>0\]这个极限来解释，这个必要条件还有点难想到呢）。
   如果分子、分母的两个二次函数的判别式一个非负，另一个为正，由分子分母各自图像知，不能保证$f(x)>0$恒成立；
    如果分子、分母的两个二次函数的判别式均为正数，则分子分母均和$x$轴有交点，由图像知同样不能保证$f(x)>0$恒成立；
但是极易遗漏$\dfrac{k+1}{2k-1}=\dfrac{k+3}{k+1}=\dfrac{2k-8}{k-4}=2$，解得$k=1$，这也符合题意.
    综上所述：$\begin{cases}(k+1)(2k-1)>0\\ (k+3)^2-4(k+1)(2k-8)\leqslant0\\(k+1)^2-4(2k-1)(k-4)\leqslant0\end{cases}$    或$k=1$

在分子分母是2 次且不能分解的情况下,还可以分类讨论,分子分母都正或都负--解这两类时,注意到是k的一次式,所以可以尝试把k解出来,用处理恒成立的办法处理.这样就不需要极限了.