[数列] 接近$\sqrt n$的数列倒数求和

如图

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2013-3-5 16:52

______kuing edit in $\LaTeX$______
$b_n$ 为接近 $\sqrt n$ 的正整数，即 $\abs{b_n-\sqrt n}<\dfrac12$，求 $\left\{\dfrac1{b_n}\right\}$ 的前 $1000$ 项和。

先证明，$\{b_n\}$ 中，有 $2k$ 个 $k$（$k=1$, $2$, $\ldots$）。

考虑使 $k-0.5<\sqrt{n}<k+0.5$ 成立的 $n$ 的个数。
两边平方得 $k^2-k+0.25<n<k^2+k+0.25$，所以 $k^2-k+1\leqslant n \leqslant k^2+k$，共 $2k$ 个。

于是 $\{1/b_n\}$ 中就有 $2k$ 个 $1/k$，每段加起来的时候都是 $2$，现在要求前 $1000$ 项的和，只要求一下余数就可以算了，这里不再详写。

合并了一下贴子、将多余的回贴删除、编辑了标题以及用 $\LaTeX$ 代码打了一下题目。