[几何] 来自人教论坛的椭圆最大值[未完]

来自：http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2679466

按原贴回贴中里说的，题目大意是说，给定一个椭圆，任意过椭圆中心的弦AB，以及椭圆上任意点C，求CA+CB的最大值。

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

管理员

2^#

发表于 2013-3-5 16:11

下面讨论取最大值时会是怎么样的情形。

来试试物理方法吧，速度分解。

我们不妨先将 C 点固定，让 AB 顺时针旋转，就像图中这样。
QQ截图20130305161725.png

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2013-3-5 16:17

显然 A, B 的速度大小相同，方向相反，于是作出速度分解便可知，当那两个角度相等时 CA+CB 取得极值，不难观察出那是最大值。
QQ截图20130305161929.png

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2013-3-5 16:19

或者，固定 AB 再让 C 在椭圆上走也差不多，相对来说这个好用些。
QQ截图20130305164712.png

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2013-3-5 16:49

当那个速度是那平分线就取最大值了，也就是说，还是当 A-C-B 是光反射的情形取最大值。
QQ截图20130305165353.png

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2013-3-5 16:53

待续……

管理员

3^#

发表于 2013-3-5 17:13

将上述两个结论结合在一起会怎么样？

我们将 C 中心对称过去得 C' ，连成下图
光反射椭圆内接四边形.PNG

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2013-3-5 17:13

发现了没？A-C-B-C'-A 是一条光反射回路！同时显然可以看出此时那些切线是垂直的，也就是说如果把 C' 处的切线作出来，那么四条切线围成一个矩形。

搞到这些美妙的结论，几乎忘了原题要求什么了

继续待续……