[函数] 最小值问题

已知$a,b,c为常数，且c>b>a$
对于函数\[y=\frac1 {x-a}+\frac1 {x-b}+\frac1 {c-x} \]
如何取$a,b,c$的大小，使得函数$y在(b,c)$上的最小值容易求呢？

刚才找到了一组，$a=1,b=2,c=5$时，可以得到当$x=6-\sqrt{5}$时，函数在（2,5）上取到最小值$ \frac{7+3{\sqrt 5}}{8}.$

2# reny
你在搞命题研究啊？
用柯西不等式就应该可以解决了。
只是待定系数，很难算。

刚才找到了一组，$a=1,b=2,c=5$时，可以得到当$x=6-\sqrt{5}$时，函数在（2,5）上取到最小值$ \frac{7+3{\sqrt 5}}{8}.$
reny 发表于 2013-3-5 16:56

这个数据不对吧，你再算算？

4# kuing
我也觉得，
所以算了一阵，很怕我自己算错了，最终还是没给结果

a=5, b=10, c=37 试试

a=5, b=10, c=37 试试
kuing 发表于 2013-3-5 21:05

讲讲构造过程，其实很简单，就是不断地解。

\[y=\frac1{x-a}+\frac1{x-b}+\frac1{c-x},\]
代入 $a=1$, $b=2$，求导，通分，得
\[y'=-\frac{2 c^2 x^2-6 c^2 x+5 c^2-4 c x^3+12 c x^2-10 c x+x^4-8 x^2+12 x-4}{(x-2)^2 (x-1)^2 (c-x)^2},\]
为求一个好的 $c$，令 $y'=0$，这里不是解出 $x$，而是解出 $c$，得到一个较大根
\[c=\frac{(x-2) (x-1)}{\sqrt{2 x^2-6 x+5}}+x,\]
为使没有根式，希望有
\[2 x^2-6 x+5=m^2,\]
其中 $m$ 和 $x$ 为整数，解 $x$，得较大根
\[x=\frac{3+\sqrt{2m^2-1}}2,\]
因此又需要 $2m^2-1$ 为完全平方数，代入 $m=1$ 发现解出的是 $x=1$, $2$，不行，再代 2, 3, 4, 5 发现 $m=5$ 就可以了，此时 $x=5$，代回去得 $c=37/5$，于是就得到一组好数据 $a=1$, $b=2$, $c=37/5$，因为齐次，同时乘以 $5$，就得到了楼上给出的。

7# kuing
不错啊！
原来和勾股数有关的。
下面就管理员的数据来个柯西不等式：
$y=\dfrac1{x-5}+\dfrac1{x-10}+\dfrac1{37-x}=\dfrac9{9(x-5)}+\dfrac{16}{16(x-10)}+\dfrac{25}{25(37-x)}\geqslant\dfrac{(3+4+5)^2}{25\times37-9\times5-16\times10}=\dfrac15$.
当且仅当$x=25$取等号。

算是不小心地研究了一回命题方式……

9# kuing
那你以后就可以不止解题，然后命题，
可是很担心命出来的题很多人都不会做啊？

10# yes94

对于有意识有目标地命题，其实我兴趣不大……倒是有时在研究一些问题时可能会得到副chan品可以拿出来当题目

改编也可以考虑，推广什么的，不过推广其实也可以算是上面说的了

来三两道题目 ）：
（1）求$y=\dfrac1{x-1}+\dfrac1{x-6}+\dfrac1{33-x}$（$x\in(6,33)$）的最小值。
（2）求$y=\dfrac1{x-2}+\dfrac1{x-7}+\dfrac1{34-x}$（$x\in(7,34)$）的最小值。
（3）求$y=\dfrac1{x+90}+\dfrac1{x-1}+\dfrac1{126-x}$（$x\in(1,126)$）的最小值。

13# yes94
不错！你也是用$kuing$的方法找的吗？
PS、对于使得$2m^2-1为完全平方数的m,怎么找？ 如果用Mathematic$编程序的话，也不会编.

14# reny

这并不是一个简单问题，印象中好像是 Pell 方程……

用 Mathematica 找的话，用 Table 列一下就是了……

14# reny
不是king的方法。
你怎么知道我的构造题目是合理的？（合理指的是取等号的$x$值是整数，最小值是有理数），做过我的题目吗？

16# yes94

那大概就是8#柯西的方法了？

PS、打错ID了

13# yes94
$(1)y=\dfrac1{x-1}+\dfrac1{x-6}+\dfrac1{33-x}=\dfrac9{9(x-1)}+\dfrac{16}{16(x-6)}+\dfrac{25}{25(33-x)}\geqslant\dfrac{(3+4+5)^2}{25\times33-9\times1-16\times6}=\dfrac15$
$(2)y=\dfrac1{x-2}+\dfrac1{x-7}+\dfrac1{34-x}=\dfrac9{9(x-2)}+\dfrac{16}{16(x-7)}+\dfrac{25}{25(34-x)}\geqslant\dfrac{(3+4+5)^2}{25\times34-9\times2-16\times7}=\dfrac15$

$(3)y=\dfrac1{x+90}+\dfrac1{x-1}+\dfrac1{126-x}=\dfrac{25}{25(x+90)}+\dfrac{144}{144(x-1)}+\dfrac{169}{169(126-x)}\geqslant\dfrac{(5+12+13)^2}{169\times126+25\times90-144\times1}=\dfrac1{26}$
我是用待定系数法硬算的. 总是和勾股数有关，结果总是挺简洁的. 前两个居然系数都没变，最小值也没变. 说下寻找的方法呗.

18# reny
那个ID弄错了成国王了，kuing帮我给改了嘛！
再来四道（可惜后面两道数据过大）：
（1）求$y=\dfrac1{x-3}+\dfrac1{x-8}+\dfrac1{35-x}$（$x\in(8,35)$）的最小值。
（2）求$y=\dfrac1{x-4}+\dfrac1{x-9}+\dfrac1{36-x}$（$x\in(9,36)$）的最小值。
（3）求$y=\dfrac1{x+80}+\dfrac1{x-11}+\dfrac1{136-x}$（$x\in(11,136)$）的最小值。
（4）求$y=\dfrac1{x+70}+\dfrac1{x-21}+\dfrac1{146-x}$（$x\in(21,146)$）的最小值。

19# yes94
用什么方法找的这些数据？
如果是这种形式：\[y=\frac{a_1} {x-b_1}+\frac{a_2}{x-b_2}+\frac1 {b_3-x}\],
$a_1和a_2$为不相等的正数，这种情况恐怕就有点难找吧！