[数列] 试一下草稿本，顺带转一个数列不等式

已知数列$\{a_n\}$满足，$a_1=1$，$a_n \cdot a_{n+1}=n$，
（1）求证：$a_{n+2}=\frac{1}{a_{n+1}}+a_n$
（2）求证：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}<3 \sqrt{n}-1$

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(1)$a_{n+1}=\frac{n}{a_n},a_{n+2}=\frac{n+1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_{n+1}}+a_n$
(2)\[\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots\+\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_1}+(a_3-a_2)+(a_4-a_3)+\ldots+(a_{n+1}-a_n)=a_{n+1}\]
\[而n为奇数时,a_{n+1}=\frac{a_2a_3\ldots a_{n+1}}{a_1a_2\ldots a_n}=\frac{2\times4\times6\times\ldots\times{n}}{1\times3\times5\times\ldots\times{(n-1)}}\]
\[而n为偶数时,a_{n+1}=\frac{a_3a_4\ldots a_{n+1}}{a_2a_3\ldots a_n}=\frac{3\times5\times7\times\ldots\times{n}}{2\times4\times6\times\ldots\times{(n-1)}}\]
后面应该可以处理了,只需要平方下,可以利用$\frac{(k-1)(k+1)}{k^2}<1$等处理

2# realnumber

没用草稿本么，又要修改了……

3# kuing


发现打错了一个字，只有改一下了！

4# hongxian

噢，我不是说你。

3# kuing
en ,当时赶着去坐车,本来就打算修改,后面放缩,如果楼主知道了,就不需要我写了.

2# realnumber
谢谢了！求通项的高手，还是有点小问题
\[\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}\]
好象应该为\[a_{n+1}+a_{n}-1\]
$n$为奇数时需证$\dfrac{1 \times 3 \times 5\times \cdots \times n}{2 \times 4 \times 6\times \cdots \times (n-1)}+\dfrac{2 \times 4 \times 6\times \cdots \times (n-1)}{1 \times 3 \times 5\times \cdots \times (n-2)}<3 \sqrt{n}$
$a_{n+1}^2=\dfrac{(1 \times 3)\times(3 \times 5)\times \cdots\times(n-2)\times n \times n}{2^2 \times 4^2 \times \cdots \times(n-1)^2}<$ $n \Longrightarrow a_{n+1}<\sqrt n$

$a_{n+1}^2=\dfrac{2 \times(2 \times 4)\times(4 \times 6)\times \cdots\times(n-3)\times (n-1) \times (n-1)}{3^2 \times 5^2 \times \cdots \times(n-2)^2}<$ $2(n-1) \Longrightarrow a_{n}<\sqrt{2(n-1)}$
所以需证$\sqrt n+\sqrt{2(n-1)}<3 \sqrt n \Longleftarrow \sqrt{2(n-1)}<2 \sqrt n \Longleftarrow 2n-2<4n \Longleftarrow 2n-2<4n \Longleftarrow -2<2n$这是明显的
$n$为偶数时$a_{n+1}=\dfrac{2 \times 4 \times\cdots\times n}{1 \times 3\times\cdots\times (n-1)}<\sqrt{2n}$,$a_n=\dfrac{1\times 3\times\cdots\times(n-1)}{2\times4\times\times\cdots\times(n-2)}$ $<\sqrt{n-1}$
所以需证$\sqrt{2n}+\sqrt{n-1}<3\sqrt n \Longleftarrow \sqrt{n-1}<(3-\sqrt 2)\sqrt n\Longleftarrow -1<(10-6\sqrt 2)n$这也是明显的
不过$n=$1,2好象要单独讨论

7# hongxian
恩,你是对的

2# realnumber
我想计算一下$a_3$的，结果代realnumber的公式，不知怎么算。

9# yes94

$a_n=\begin{cases}
\dfrac{2\times 4\times\cdots\times(n-1)}{1\times 3\times\cdots\times(n-2)}&n为奇数\\
\dfrac{1\times 3\times\cdots\times(n-1)}{2\times 4\times\times\cdots\times(n-2)}&n为偶数
\end{cases}$  $(n>2)$
$a_1=a_2=1$
$a_3$用上面的公式还是可以求的，$a_3=\dfrac2 1=2$

10# hongxian
$a_3$是用你的公式代还是realnumber的公式代合适？

11# yes94

我只能说我的公式是根据realnumber的思路推出来的。