[几何] 请教一个比较角度大小的问题

$AB$是$\odot O$内部的线段，圆$AT_1B,AT_2B$和$\odot O$内切于$T_1,T_2$，若圆$AT_1B,AT_2B$的半径分别为$r_1,r_2$，且$r_1>r_2$，能否得出$\angle AT_1B<\angle AT_2B$？
感谢昨天网友帮忙画了图。
我用正弦定理作了，但是钝角的情况考虑不周全，应该怎么弄呢？

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2013-3-5 13:39

先证一下两个角不能都是钝角
设$AB$交$\odot O$于$A',B'$，这样$\angle A'T_1B'+\angle A'T_2B'=\pi$，然后$\angle A'T_1B'>\angle AT_1B,\angle A'T_2B'>\angle AT_2B$，就得到$\angle AT_1B+\angle AT_2B<\pi$，所以不能都是钝角

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2013-3-9 07:42

两圆相交，那么互相分成两部分，即其中一圆一部分在另一圆内，一部分在外。
弦$AB$把圆$O_1$分成两部分，注意到$DO_2>CO_2$,所以大圆的劣弧在小圆内部，大圆的切点只能在优弧上，即$\angle AT_1B=ADB$为锐角.
--ps,平几没看的习惯，教高中，...

3# realnumber
有两个问题，为什么$DO_2>CO_2$呢？当$O_2$在$O_1$右侧时确实是，但怎么证明$O_2$在$O_1$左侧时半径大小出现矛盾呢？
还有为什么由$DO_2>CO_2$，就能得出大圆劣弧在小圆内部呢？
两个问题用几何画板演示都是显然的，但怎么证明呢？

4# abababa
没你这个情况的，
你先画大圆$O_1$,再添加圆$O_2$，就自然出现大小关系.

5# realnumber
从画图上看确实是没有，但要证明啊，我用几何画板画的也是，让$O_2$在连心线上移动，当移动到$O_1$左边时就出现$\odot O_2$比$\odot O_1$大的情况了，但要怎么证明它呢？不能因为画图这样就行了吧。

证明：连接$O_1O_2$,交圆$O_1$于两点C,D，记关于点$O_1$,与$O_2$同侧点为C,异侧点为D.
记$\abs{O_1O_2}=m>0$,$\abs{DO_2}=r_1+m>\abs{CO_2}=r_1-m$,其中$r_1$为圆$O_1$半径（其中$r_1>r_2$）.
---这个算不算？还是觉得一个作法就够了.

4# abababa
因为等腰三角形ABD与等腰三角形ABC有公共底边，其中底边上的高较大，则顶角小，而这两个顶角就是弦AB所对的圆周角（注意：同弧所对圆周角相等）.那么$T_1$对应角较小.

7# realnumber

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2013-3-9 19:59

如果这样规定$D,O_1$在$O_2$的同侧，$C,O_1$在$O_2$异侧，确实得到了$DO_2>CO_2$，但在这样规定下，为什么就得出了大圆劣弧在小圆内部呢？还是不理解

楼上图形$r_1>r_2$没体现出来.
由垂径定理，可得出$O_1$离AB比$O_2$离AB远，优弧劣弧说明也是配合这点.既然上面得出一个圆周角是锐角，即对应点在优弧上.

想到一个办法，假设大圆优弧在小圆内，则大圆的一直径在小圆内，这与$r_1>r_2$矛盾.

11# realnumber
谢谢。
这样就能证明$\angle AT_1B$一定是锐角了，再由正弦定理，另一个不管是锐角还是钝角都有$\angle AT_1B < \angle AT_2B$了。

原题是一个作图题，定圆$\odot O$内给定两定点$A,B$，在$\odot O$圆周上求作一点C使得$\angle ACB$最大
作法是一楼说的那位网友给出的，最后他就说在$\angle AT_1B,\angle AT_2B$里选一个最大的就是，我看图觉得一定是$AT_2B$最大，但就是不知道怎么证明。感谢楼上的证明。