[不等式] a+b+c=3,一个不等式

\[a,b,c\in R^+,a+b+c=3,求\frac{\sqrt{a}}{3-a}+\frac{\sqrt{b}}{3-b}+\frac{\sqrt{c}}{3-c}的最小值.\]
要求主流点,高考难度内的办法.
切线法已经有个,还有别的吗?
\[\frac{\sqrt{a}}{3-a}\ge \frac{a}{2}\]

求什么？

主题没分类

楼主喜欢用0.5

2# kuing
下次看到不顺眼,直接改,不需要客气

晕，还是打不出来……
$frac{\sqrt {x}}{3-x}$

4# goft

置顶贴这么难懂么

4# goft
用2个美元记号,夹住表达式

\[\frac{\sqrt a}{3-a}=\frac{\sqrt a}{b+c}=\frac{\sqrt2a}{\sqrt{2a(b+c)(b+c)}}\geqslant\frac{\sqrt2a}{\sqrt{\left( \frac{2a+b+c+b+c}3\right)^3}}=\frac a2,\]
这算不算是另一种方法

7# kuing
算！
选修的三元均值不等式，只是怎么想到的？学生会问。切线法我觉得也可算高中方法了，

8# yes94
其实切线法知道那个不等式后，用高中的方法还是很容易的：
由均值不等式可知，$a+\dfrac1{\sqrt a}+\dfrac1{\sqrt a}\geqslant3$，
故$3-a\leqslant\dfrac2{\sqrt a}$，
于是，$\dfrac{\sqrt a}{3-a}\geqslant \dfrac a2$

9# yes94
继续你的思路
由均值不等式可知，$(a+1)+\dfrac1{\sqrt a}+\dfrac1{\sqrt a}\ge 2\sqrt a+2\dfrac1{\sqrt a}\geqslant4$，
故$3-a\leqslant\dfrac2{\sqrt a}$
又,7楼也不错.

10# realnumber
用了两次二元均值，
是否三元均值可用二元均值来证明？你已给出一种，
我来试一试另一种：
因为$a+1\geqslant 2\sqrt a$……（1），
对（1）式乘以$\sqrt a$得：$a\sqrt a+\sqrt a\geqslant 2a$………（2），
对（1）移项得：$a\geqslant 2\sqrt a-1$，代入（2）式得：
$a\sqrt a+\sqrt a\geqslant 2a\geqslant 2(2\sqrt a-1)=4\sqrt a-2$，
化简得：$2\geqslant3\sqrt a-a\sqrt a=\sqrt a(3-a)$……（3），
对（3）乘以$\sqrt a$得：$2\sqrt a\geqslant a(3-a)$，
即$\dfrac{\sqrt a}{3-a}\geqslant \dfrac a2$

11# yes94
上面的证法反复用了两次不等式：$a+1\geqslant 2\sqrt a$
反复乘了两次$\sqrt a$，看来三元均值可用二元均值代替。

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2013-3-5 14:55

这个算是初等的证明吧

13# ccnu_chb_ycb

还不是跟7#一样

14# kuing
的确和7楼一样。
下面再来一种三元均值，虽意义不大，且貌似繁琐些：
先证明：$\sqrt a(3-a)\leqslant2$，于是就有$\dfrac{\sqrt a}{3-a}\geqslant\dfrac a2$。
故$\sqrt a(3-a)=\sqrt a(\sqrt3-\sqrt a)(\sqrt3+\sqrt a)=\dfrac1{mn}\sqrt a(\sqrt3m-m\sqrt a)(\sqrt3n+n\sqrt a)\leqslant\dfrac1{mn}(\dfrac{\sqrt3(m+n)+(1-m+n)\sqrt a}3)^3=2$，
其中$m=\dfrac{\sqrt3+1}2$，$n=\dfrac{\sqrt3-1}2$，则$mn=\dfrac12$，且$m-n=1$，$m+n=\sqrt3$，取等号略。证完。