[不等式] 又一ln的数列不等式

证明:$$\frac{1}{2^2}\ln 2^2+\frac{1}{3^2}\ln 3^2+\frac{1}{4^2}\ln 4^2+\cdots+\frac{1}{(n+1)^2}\ln (n+1)^2>\frac{n}{2(n+1)(n+2)}$$

1# yayaweha


不知用积分能否突破

2# yayaweha

用积分是不是证明左边大于$\int_{1}^{n+1} \frac{2\ln x}{x^2}dx=\frac{2(n-\ln (n+1))}{n+1}$，要证明它大于右边，就是证明
$4(n+2)(n-\ln (n+1))-n>0$
当$n=1$时成立，然后证明单调吧
求导是$\frac{8x^2+11x-1-4(x+1)\ln (x+1)}{x+1}$，然后用$-\ln (x+1) > -x$代换，就是证明$8x^2+11x-1-4x(x+1)>0$
化简就是证明$4x^2+7x-1>0$，当$x>1$时总成立，是这样的吗？

2# yayaweha

用积分是不是证明左边大于$\int_{1}^{n+1} \frac{2\ln x}{x^2}dx=\frac{2(n-\ln (n+1))}{n+1}$，要证明它大于右边，就是证明
$4(n+2)(n-\ln (n+1))-n>0$
当$n=1$时成立，然后证明单调吧
求导是$ ...
abababa 发表于 2013-3-3 13:10

没检查你前面的计算，但是证 $4(n+2)(n-\ln (n+1))-n>0$ 可以简单点，事实上有 $4\ln (n+1)<3n$……

应该也是水母,当$n\ge2$时,有$\ln (n+1)>1$
那么本题,$n=1$单独验证.
当$n\ge2$时,$\frac{1}{2^2}\ln 2^2+\frac{1}{3^2}\ln 3^2+\frac{1}{4^2}\ln 4^2+\cdots+\frac{1}{(n+1)^2}\ln (n+1)^2>\frac{1}{4}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{4^2}+\cdots+\frac{2}{(n+1)^2}=\frac{1}{4}+\frac{2}{3}-\frac{2}{n+2}>\frac{1}{2(n+2)}>\frac{n}{2(n+1)(n+2)}$

5# realnumber

这类题通常逃不过你抓水母的fa眼

6# kuing
我是海绵宝宝和快乐星

5# realnumber


最喜欢看realnumber的解法啦！

5# realnumber
这么说，这个不等式实在是太弱！
放缩误差这么大，还好意思出来考学生？

$n\ge2$
不妨设$a_n=\frac{n}{2(n+1)(n+2)},则a_{n+1}=\frac{n+1}{2(n+2)(n+3)},a_{n+1}-a_n=\frac{1-n}{2(n+1)(n+2)(n+3)}<0$
只需证$$\frac{1}{2}ln2>\frac{2}{2*3*4}$$
而$6ln2>1$显然成立

10# yayaweha


这样子做不知道对不对

楼上这个证法很好啊。有时命题的人自己走弯路了，还以为这种题很难。下面是另外的一个例子。

12# 第一章


这题我当年做过

12# 第一章

跟这个 http://kkkkuingggg.5d6d.net/thread-488-1-1.html 有点像

嗯。都是很简单的问题。