求极限 $\lim_{n\to+\infty}\bigl((n+1)^\alpha-n^\alpha\bigr)$

求极限
\[\lim_{n\to+\infty}\bigl((n+1)^\alpha-n^\alpha\bigr)\]
其中 $0<\alpha<1$

用洛必达或者转化为导数的定义不难证明。
主要是还没想到用数列极限的定义来证。。。

用二项式定理行不行？

3# 海盗船长


呃，$0<\alpha<1$ 怎么二……

哦，我的意思是那种推广到实数的“二项式定理”。。

5# 海盗船长


噢，我瞧瞧看……

战巡给的夹逼法
显然$(1+n)^{\alpha}-n^{\alpha}>0$
又$(1+n)^{\alpha}-n^{\alpha}=n^α((1+\dfrac{1}{n})^{\alpha}-1)<n^{\alpha}((1+\dfrac{1}{n})-1)=n^{\alpha-1}$

7# 图图


有道理，:lol 不错

PS。打公式时请用英文状态输入，括号好难看ing

8# kuing


呃，改了...

好不习惯哇

战巡给的夹逼法
显然$(1+n)^α－n^α>0$
又$(1+n)^α－n^α=n^α((1+\dfrac{1}{n})^α－1)<n^α((1+\dfrac{1}{n})－1)=n^{α-1}$
图图 发表于 2011-10-3 23:13

呃，你的 $\alpha$ 原来也不是用代码打的（虽然这里能正常显示，是因为 mathjax 竟然能自动转化，这也是 mathjax 强大的地方之一，不过还是建议可以的话尽量用代码）
还有那个减号也是全角的，难怪高度不一样……

标准输入法
\[(1+n)^\alpha-n^\alpha=n^\alpha\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^\alpha-1\right)<n^\alpha\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)-1\right)=n^{\alpha-1}\]
看看有什么不同？

PS：右键选 Show... 看我打的代码

10# kuing


呃，其实有一个减号是半角的。
唔...

:D 嘿，慢慢来吧
打代码，练耐心、细心

直接用拉格朗日中值定理就好了......

战巡给的夹逼法
显然$(1+n)^{\alpha}-n^{\alpha}>0$
又$(1+n)^{\alpha}-n^{\alpha}=n^α((1+\dfrac{1}{n})^{\alpha}-1)<n^{\alpha}((1+\dfrac{1}{n})-1)=n^{\alpha-1}$
图图 发表于 2011-10-3 23:13

这个有问题啊，没法“夹逼”啊！
\[ (1+n)^{\alpha}-n^{\alpha}=n^{\alpha}\left[\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{\alpha}-1\right]<n^{\alpha}\left[\left(1+\dfrac{1}{n}\right)-1\right]=n^{\alpha-1} \]
这个公式没啥用吧——难道\( \displaystyle \lim_{n\to +\infty} n^{\alpha-1} = 0 \) 吗？

14# 叶剑飞Victor


注意$0<\alpha<1$.