[几何] 来自粉丝群的切点切线圆系方程

唯因却恩(7643*****) 2013-3-2 12:00:28

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2013-3-2 14:51

唯因却恩(7643*****) 2013-3-2 12:06:31
已知切点和切线的圆系方程怎么算呢

直接用普通方法验证它是不难的，这里只是想讲讲它是怎么搞出来的。

首先我们知道，两个不同心的圆的方程，总能通过线性组合得到一条直线方程，就是他们的根轴。
所以，如果两个不同的圆相切于同一个点，能通过线性组合得到切于该点的切线方程。
我们将切点也看成一个圆（没错，这个圆半径为 $0$，方程为 $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=0$），不影响上面的结论，仍然可以通过圆与切点的线性组合得到切线。
因此，反过来，通过切点与切线的线性组合，能得到所有与切线切于该点的圆。
同时应注意上面的 $\lambda$ 不能为 $0$。

已知切线为 $Ax+By+C=0$ 且切点为 $(x_0,y_0)$ 的圆系方程为
\[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+\lambda (Ax+By+C)=0,\]
也可以写成
\[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+\lambda \bigl(A(x-x_0)+B(y-y_0)\bigr)=0,\]
其中 $\lambda \ne0$。

应该是了，thanx！有来路，再证明，ok！