[几何] 刚才352问的一道立几判断题

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2013-3-1 23:25

我想到的是向量法，易证 $2\vv{MN} = \vv{AC} + \vv{BD}$，于是显然不能平行。

但是那个显然我不知应该怎么表达，用基底来说可以不？实在不懂教……

以及，不知各位有什么其他方法判断？

PS、实际上两个平面不必垂直。

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2013-3-2 13:09

假设$MN\sslash l$
在平面$\alpha$内作$CE \pqd MN$,在平面$\beta$内作$DF\pqd MN$,则可得$E,M,F$三点共线,且M为EF中点.
又M为AB中点,得到四边形AEBF为平行四边形,有$AE\sslash BF$,得到$AE\sslash l\sslash BF$(这一步推理是课本例题),
如此即$EA\sslash l$,且$EC\sslash l$,所以A,E,C共线,同理F,B,D共线,即$AC\sslash BD$这与条件异面矛盾.

2# realnumber

very nice

1# kuing
向量参与的推理不是很习惯,不清楚下面的表达有没漏洞,甚至错误.
假设平行,得到$2\vv{MN} = \vv{AC} + \vv{BD}=k\vv{n}$,其中$k$是非零实数,$\vv{n}$是直线$l$上一单位向量,
即$ \vv{AC} =- \vv{BD}+k\vv{n}$,说明AC平行$\vv{BD},k\vv{n}$所确定的平面$\beta$.又AC是面$\alpha$内一直线,面$\alpha$与面$\beta$交线为$l$,所以有$AC\sslash l$,同理得$BD\sslash l$,得$AC\sslash BD$与条件异面矛盾.

4# realnumber

应该没问题，就是这里有点小漏洞

说明AC平行$\vv{BD},k\vv{n}$所确定的平面$\beta$
realnumber 发表于 2013-3-2 13:36

还得先说明 $\vv{BD}$ 与 $\vv n$ 不共线，不过这也显然。

再次多谢

反证法，可以证明出AC//MN，导致AB、CD共面，矛盾。