[不等式] 天书问的一条不等式

Let$a,b,c>0$with  $a+b+c=1$,show that:
\[ \frac{a^{2}}{b+b^2}+\frac{b^2}{c+c^2}+\frac{c^2}{a+a^2}\geq \frac{3}{4} \]
Proof:
Rewrite the inequality into:
\[ \frac{a^2}{2b^2+ab+bc}+\frac{b^2}{2c^2+ca+cb}+\frac{c^2}{2a^2+ab+ac}\geq \frac{3}{4} \]
Using the Awesome CYH skill,we have
\[ \left(\sum{\frac{a^2}{2b^2+ab+bc}} \right)\left(\sum{(2a+b)^{2}(2b^2+ab+bc)} \right)\geq \left( 2\sum{a^2}+\sum{ab}  \right)^{2} \]
So,just check
\[ 4\left( 2\sum{a^2}+\sum{ab}  \right)^{2}\geq 3\left(\sum{(2a+b)^{2}(2b^2+ab+bc)} \right) \]
Or
\[ 10\sum{a^4}+\sum{a^3b}\geq 11\sum{a^3c} \]
Which is obvious true.
Done!

跟之前这道题 http://kkkkuingggg.5d6d.net/thread-645-1-1.html 很像，方法也是

你说会不会有
\[\sum\frac{a^2}{b+b^2}\geqslant\sum\frac{a^2}{a+b^2}\geqslant\frac34?\]

本题排序不等式较为简便，对称轮换

本题排序不等式较为简便，对称轮换
goft 发表于 2013-2-28 18:27

过程？

4# yes94

大概是 $\{a^2,b^2,c^2\}$ 与 $\left\{\frac1{a+a^2},\frac1{b+b^2},\frac1{c+c^2}\right\}$ 必成反序。

程序写不出来啊……，还在练习阶段

4# yes94

大概是 $\{a^2,b^2,c^2\}$ 与 $\left\{\frac1{a+a^2},\frac1{b+b^2},\frac1{c+c^2}\right\}$ 必成反序。
kuing 发表于 2013-2-28 18:41

不过这样下去就会反向了，看来也不是这个意思。
楼上实际操作过没的？

6# goft
一个星期就差不多练会了基本的，

7# kuing

晕了，计算错误，代码又弄不起来