[数列] 还来一个求递推通项

已知：$a_0=2$，$a_1=3$，$a_2=6$，且对$n \geqslant 3$有$a_n=(n+4)a_{n-1}-4na_{n-2}+(4n-8)a_{n-3}$
求：$a_n$

模仿这类问题做法$a_1=1,a_n=2a_{n-1}+1,n\ge2,n\in N$
本题可得$a_n-(n+2)a_{n-1}+(2n-2)a_{n-2}=2(a_{n-1}-(n-1+2)a_{n-2}+(2n-2-2)a_{n-3})$
又$a_2-4a_1+a_0=0$,所以$a_n-(n+2)a_{n-1}+(2n-2)a_{n-2}=0$,
后面你自己来吧.

2# realnumber

niubility...我刚才看了好一会都没目测出这个变形……

3# kuing


不是目测的,是计算的.
$a_n+xa_{n-1}+ya_{n-2}=k(a_{n-1}+xa_{n-2}+ya_{n-3})$,可以解得$k=2$,但$x=-n-2,y=2n-4$没法用,需要修改.
处理系数中n,然后处理系数中常数,凑巧成了.
-----运气成分很大.

4# realnumber
战巡求出：$a_n=2^n+n!$

2# realnumber
谢谢了！好象有点问题，
$a_2-4a_1+a_0=0$，好象应该改成$a_2-4a_1+2a_0=-2$，所以$a_n-(n-1)a_{n-1}+(2n-2)a_{n-2}=-2^{n-1}$，$n \geqslant 2$
所以$a_n-na_{n-1}=2 \left[a_{n-1}-(n-1)a_{n-2}\right]-2^{n-1}$，$n \geqslant 2$
所以$\frac{a_n-na_{n-1}}{2^{n}}=\frac{a_{n-1}-(n-1)a_{n-2}}{2^{n-1}}-\frac{1}{2}$,$n \geqslant 2$
所以$\frac{a_n-na_{n-1}}{2^n}=\frac{2-n}{2}$
所以$a_n-na_{n-1}=2^n-n2^{n-1}  n \in N^*$
所以$a_n-2^n=n \left(a_{n-1}-2^{n-1}\right)=n(n-1)\left(a_{n-2}-2^{n-2}\right)=n!$
所以$a_n=2^n+n!$，$n \in N$

5# yes94

战版主的方法在这里http://bbs.pep.com.cn/forum.php? ... 4&fromuid=56513

6# hongxian
恩,大意了

把战巡的解法编辑成好看的代码再看看，要不然原解答太难读了！
$a_{n}=(n+4)a_{n-1}-4na_{n-2}+4(n-2)a_{n-3}$
$a_{n}-na_{n-1}=4a_{n-1}-4(n-1)a_{n-2}-4a_{n-2}+4(n-2)a_{n-3}$
$a_{n}-na_{n-1}=4[a_{n-1}-(n-1)a_{n-2}]-4[a_{n-2}-(n-2)a_{n-3}]$
令$a_{n}-na_{n-1}=b_{n}$，就有
$b_{n}=4b_{n-1}-4b_{n-2}$
这个就好办了吧，剩下楼主自己搞定吧...
最后得到$a_{n}=2^n+n!$
当然，$Word$的查找与替换功能，还是不错的，省去我编辑的麻烦，

9# yes94
这么多的“4”，都视而不见！

楼主的条件不对，应该改为：
已知：$a_0=2$，$a_1$=3，$a_2=6$，且对$n⩾3$，有$a_n=(n+4)a_{n−1}−4na_{n−2}+(4n−8)a_{n−3}$
求：$a_n$

11# yes94


谢谢了，的确，才发现！