[数列] 再问一个求通项的题，先谢谢了！

2.已知：$x_0=x_1=1$，$x_0x_n+x_1x_{n-1}+\cdots+x_{n-1}x_1+x_nx_0=2^nx_n (n \geqslant 2)$
求$x_n$

管理员

2^#

发表于 2013-2-26 11:00

0 和 1 的运算都被定义成 1 的，想到阶乘，再看递推式，又想到二项式，组合数，都是相关的，算了 $x_2$，随即猜到 $x_n=\dfrac1{n!}$，马上变成组合恒等式，归纳之。

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

金牌会员

3^#

发表于 2013-2-26 11:04

2# kuing

组合恒等式，高!

论坛元老

4^#

发表于 2013-2-26 12:28

2# kuing
这个猜想（直觉）丰富啊！

论坛元老

5^#

发表于 2013-2-28 19:31

一道类似题：

已知：$x_2=x_3=1$，$x_2x_n+x_3x_{n-1}+x_4x_{n-2}+\cdots+x_{n-1}x_3+x_nx_2=x_{n+1} (n \geqslant 2)$
求$x_n (n \geqslant 2)$