[数列] 请教一个数列求通项的题

已知$a_0=1$，$a_1=1$，$a_{n+1}=\begin{cases}
4a_n-2a_{n-1} & n为奇数\\
a_n+3a_{n-1} & n为偶数\end{cases}$，求$a_n$。

1# hongxian
可以得到$a_{2n+1}=a_{2n}+3a_{2n-1}$,即$a_{2n+1}-3a_{2n-1}=a_{2n}$----(1)
$a_{2n}=4a_{2n-1}-2a_{2n-2}$,即$a_{2n}+2a_{2n-2}=4a_{2n-1}$-----(2)
由(1)得到$a_{2n-1}-3a_{2n-3}=a_{2n-2}$----(3)
把(1)(3)代入(2)得到$a_{2n+1}-3a_{2n-1}+2a_{2n-1}-6a_{2n-3}=4a_{2n-1}$---这个可以解了,都是奇数项.
类似地,可以得到偶数项的关系式.
ps.题目真要命,好在可以解答了.又,$a_3,a_4$还是要从原关系式计算的.

将奇数项和偶数项看成是两个数列……

3# kuing
如果按$\mod3$分,是不是也可以分三个数列解决?
会不会出现意外?
$a_1=1=a_2=a_3$
$a_n=\begin{cases}a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3},n=3k+3,k\in N \\ a_{n-1}+2a_{n-2}+3a_{n-3},n=3k+1,k\in N\\4a_{n-1}-a_{n-2}-2a_{n-3},n=3k+2,k\in N\end{cases}$
---似乎很难消去了,刚才2楼方法似乎不好沿用下来.

$a_n=\begin{cases}a_{n-1}+a_{n-3},n=3k+3,k\in N \\ a_{n-1}+3a_{n-3},n=3k+1,k\in N\\4a_{n-1}-2a_{n-3},n=3k+2,k\in N\end{cases}$
这样还是可以沿用2楼办法.

4# realnumber
觉得都可以,可以解方程组.----好不负责任啊

4# realnumber

cases 环境里面，表达式与条件之间加一个 & 就可以隔开并对齐。

已知$a_0=1$，$a_1=1$，$a_{n+1}=\begin{cases}
4a_n-2a_{n-1} & n为奇数\\
a_n+3a_{n-1} & n为偶数\end{cases}$，求$a_n$。
hongxian 发表于 2013-2-25 09:56

令 $b_{n}=a_{2n-1}$, $c_{n}=a_{2n}$，则
\[\left\{\begin{aligned}
c_{n}&=4b_{n}-2c_{n-1}, \\
b_{n}&=c_{n-1}+3b_{n-1},
\end{aligned}\right.\]
容易消去。

3# kuing
如果按$\mod3$分,是不是也可以分三个数列解决?
会不会出现意外?
$a_1=1=a_2=a_3$
$a_n=\begin{cases}a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3},n=3k+3,k\in N \\ a_{n-1}+2a_{n-2}+3a_{n-3},n=3k+1,k\in N\\4a_{n-1}-a_{n-2}-2a_{n-3},n=3k+2,k\in N\end{cases}$
---似乎很难消去了,刚才2楼方法似乎不好沿用下来.
realnumber 发表于 2013-2-25 15:06

令 $x_{n}=a_{3n-2}$, $y_{n}=a_{3n-1}$, $z_{n}=a_{3n}$，则
\[\left\{\begin{aligned}
z_{n}&=y_{n}+x_{n}+z_{n-1}, \\
x_{n}&=z_{n-1}+2y_{n-1}+3x_{n-1}, \\
y_{n}&=4x_{n}-z_{n-1}-2y_{n-1},
\end{aligned}\right.\]
的确不太好消去……

\[\left\{\begin{aligned}
z_{n}&=y_{n}+x_{n}+z_{n-1}, \\
x_{n}&=z_{n-1}+2y_{n-1}+3x_{n-1}, \\
y_{n}&=4x_{n}-z_{n-1}-2y_{n-1},
\end{aligned}\right.\]的确不太好消去……
kuing 发表于 2013-2-25 15:46

第一式加第三式得\[z_{n}=5x_{n}-2y_{n-1},\]代入第二、三式得\[\left\{\begin{aligned}
x_{n}&=8x_{n-1}-2y_{n-2}+2y_{n-1}, \\
y_{n}&=4x_{n}-5x_{n-1}+2y_{n-2}-2y_{n-1},
\end{aligned}\right.\]两式相加得\[y_{n}=3x_{n}+3x_{n-1},\]再代回去得\[x_{n}=14x_{n-1}-6x_{n-3},\]
……数据居然有点特殊，意外顺利

4# realnumber

谢谢了！2#和7#的看明白了，但是$a_n=\begin{cases}a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3} & n=3k+3,k\in N \\
a_{n-1}+2a_{n-2}+3a_{n-3} & n=3k+1,k\in N\\
4a_{n-1}-a_{n-2}-2a_{n-3} & n=3k+2,k\in N\end{cases}$和$a_n=\begin{cases}a_{n-1}+a_{n-3} &n=3k+3,k\in N \\
a_{n-1}+3a_{n-3} & n=3k+1,k\in N\\
4a_{n-1}-2a_{n-3} & n=3k+2,k\in N\end{cases}$还没有看得太明白，谢谢了！

8# kuing
楼上kuing8楼已经回复

好主意!先换好元,其实kuing,我是瞎闷的,没想到真被你解出来了,那按$\mod n$呢?有没有可能?
(也是用连续n项的一次齐次式表示接下来一项,当然也给初始n个值.)

10# realnumber

原来是两个不同的题,我还以为是一个题变出来的!

8# kuing


数据不特殊可以解决吗?

12# realnumber

不清楚，有空研究下，现在在搞别的东西

13# kuing


应该也可以的,从你8楼的解答可以看到,消去$z_n$后,再$x_{n-1}$,这样就把$x_n$用{$y_n$}中项表示出来了.
这样看起来$mod n$也可以依次消元,就是高斯消元法.

看见过这道题：
已知$a_1=1$，$a_2=2$，$a_{n+2}=\begin{cases}
5a_{n+1}-3a_{n}, & 若a_n\cdot a_{n+1}为偶数\\
a_{n+1}-a_n， & 若a_n\cdot a_{n+1}为奇数\end{cases}$
求{$a_n$}的通项公式。

15# yes94
这样是不是变成了$\left\{\begin{aligned}a_{3k}&=5a_{3k-1}-3a_{3k-2},\\a_{3k+1}&=5a_{3k}-3a_{3k-1},\\a_{3k+2}&=a_{3k+1}-a_{3k}, \end{aligned}\right.$

16# hongxian
不知道啊，

15楼的数列通项公式还不好解决的

18# yes94
象7#那样换元之后应该能够解决，写几步试一下
令$\begin{cases}x_k=a_{3k-2}\\y_k=a_{3k-1}\\z_k=a_{3k}\end{cases}$,则$\begin{cases}z_k=5y_k-3x_k &(1)\\x_{k+1}=5z_k-y_{k} &(2)\\y_{k+1}=x_{k+1}-z_k &(3) \end{cases}$，（1）代入（2）（3）消$z_k$，得$\begin{cases}y_k=\frac{1}{24}\left(x_{k+1}+15x_{k}\right) &(4)\\y_{k+1}=x_{k+1}-5y_{k}+3x_{k} &(5)\end{cases}$，（4）代入（5）好象可得$x_{k+2}-4x_{k+1}+3x_k=0$，不知算错了没有，后面应该就可以做了！