[数论] 请教一个关于方程整数根的题

已知方程$x^2+bx+c$有两个整数根$m_1,m_2$，方程$x^2+cx+b$有两个整数根$n_1,n_2$，且有$m_1m_2>0,n_1n_2>0$，求b和c

1# abababa
$b=c=4$，$b=5，c=6$，

2# yes94

是其中一个解，还有两个是b=6，c=5和b=5，c=6，网友解的，告诉我答案了，没说过程，让我再想两天，呵呵，正在想

3# abababa
现在写过程不？

4# yes94
我再想想，感觉有点眉目，但不确定能做出来。
先谢谢。

5# abababa
那我写在某处，http://sq.k12.com.cn/discuz/foru ... p;extra=#pid3286979，
等你做完打开链接查看（六楼），看看咱们做的一样不

6# yes94
$c=m_1m_2>0,b=n_1n_2>0$，然后$m_1+m_2=-b<0,m_1m_2>0$，得出$m_1<0,m_2<0$，同理$n_1<0,n_2<0$
$(m_1+1)(m_2+1)=m_1m_2+m_1+m_2+1=c-b+1$，但是$m_1<0$，而且$m_1$是整数，所以$m_1 \leqslant -1$，然后$m_1+1 \leqslant 0$，同理$m_2+1 \leqslant 0$，所以$c-b+1=(m_1+1)(m_2+1) \geqslant 0$，得到$b-1\leqslant c$
然后从根是$n_1,n_2$的那个方程得到$0 \leqslant (n_1+1)(n_2+1)=b-c+1$，得到$c \leqslant b+1$，就是有$b-1 \leqslant c \leqslant b+1$
但是b，c是整数，所以c只有三种可能，$c=b-1,c=b,c=b+1$
$c=b-1$时就有$(n_1+1)(n_2+1)=2$，然后$n_1,n_2$都是负整数，得到$n_1=-2,n_2=-3$，就得到b=6,c=5
$c=b$时就有$(m_1+1)(m_2+1)=1$，再由$m_1,m_2$都是负整数，得到$m_1=m_2=-2$，就得到b=c=4
$c=b+1$时就有$(m_1+1)(m_2+1)=2$，由$m_1,m_2$都是负整数，是到$m_1=-2,m_2=-3$，就得到b=5,c=6

呵呵，关键的一步在于求得b,c的那个$b-1 \leqslant c \leqslant b+1$的关系，这是网友提示让我求的。

6# yes94
看了一下，关键都是用了$(x_1+1)(x_2+1)$这个分解，以前也碰到过这样的，然后联系韦达定理，挺方便的，但以前都太明显了，这次就没想到。

6# yes94
看了一下，关键都是用了$(x_1+1)(x_2+1)$这个分解，以前也碰到过这样的，然后联系韦达定理，挺方便的，但以前都太明显了，这次就没想到。
abababa 发表于 2013-2-24 21:12

你知道为何要用$(x_1+1)(x_2+1)$这个分解吗？你是怎么想到这个分解的？

还是把那边k12的解法复制过来，免得那里被版主删除了
显然，$m_1$，$m_2$，$n_1$，$n_2$都是负数，故$m_1+1\leqslant 0$，$m_2+1\leqslant 0$，$n_1+1\leqslant 0$，$n_2+1\leqslant 0$，
但是，$(m_1+1)(m_2+1)=c-b+1$，$(n_1+1)(n_2+1)=b-c+1$
故$(m_1+1)(m_2+1)+(n_1+1)(n_2+1)=2$.
而$(m_1+1)(m_2+1)\geqslant 0$，$(m_1+1)(m_2+1)\geqslant 0$
于是只有以下这三种情况：
$(m_1+1)(m_2+1)=0，(n_1+1)(n_2+1)=2$
$(m_1+1)(m_2+1)=(n_1+1)(n_2+1)=1$，
$(m_1+1)(m_2+1)=2，(n_1+1)(n_2+1)=0$
不妨设$m_1\leqslant m_2$，$n_1\leqslant n_2$，
可解得$b=6$，$c=5$，或$b=c=4$，或$b=5，c=6$

9# yes94

我自己得出了b，c都是正整数，然后经网友提示，让我找出b，c的不等式关系，我想了一下肯定就是固定c或b，假设固定c，让b在不等号左右加减一个整数，就是$b-a_i \leqslant c \leqslant b+a_j$，这样因为都在整数范围里，c就一定是$b-a_1,b-a_2,...b,b+a_i$这样，然后就能解了
这样想的话c-b和b-c，就是那些$a_i$肯定就是一个确定的数而不是字母了，c-b就是$m_1m_2+m_1+m_2$，这个形式我很熟悉，加上1就能分解因式，然后后面就都好算了，主要的一步就是开始没想到要确定出b和c的那个不等式关系，通过这个不等式正好得到c-b或b-c是一个能确定的数字

11# abababa
原来是1993年全国初中数学联赛试题，原题还有第一、二问，你直接写第三问了，标准解答和你的做法一样。
http://wenku.baidu.com/view/cf2983dca58da0116c174909.html

12# yes94

原来是有出处的题啊，我拿到的都是复印纸上的，没有前两问，就是求b和c。而且我自己也没完全解出，是网友提示了才解出的，呵呵，我水平不行。

13# abababa
如果不加条件$m_1m_2>0$，$n_1n_2>0$呢？

14# yes94


那样的话就有好多解吧，让c=-b-1，然后取b是任意整数都可以了，就不能列出来了。