[函数] 转一个函数交点个数的问题

1．已知函数$f(x)=\left\{ \begin{matrix}
   {{\log }_{2}}(x+2)\ \ \ \ x<0  \\
   \frac{1}{2}f(x-1)\ \ \ \ \ x\ge 0  \\
\end{matrix} \right.$若$y=f(x)$与$y={{\left( \frac{1}{3} \right)}^{x}}+a$的图象恰有3个不同的交点，求实数$a$的取值范围


原来估计是一个错题，不知有没有正解。关键是$a$可不可以大于0？


______kuing edit______
$f(x)=\begin{cases}
\log_2(x+2) & x<0 \\
\frac{1}{2}f(x-1) & x\ge 0
\end{cases}$

爪机ing...
这类题也是一种潮流，看图说话吧。。。

PS. 你这代码是不是软件转出来的?

2# kuing

火眼金睛，的确是从mathtype中转过来的。

3# hongxian

因为我爪机上，只能看代码，一看这么烂的代码就猜到是软件转的，而且那个距离也是手动打空格空过去对齐的，不是自动的。

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2013-2-22 14:32

空心点总是右端。

对任意 $n\in\mbb N$，$f(x)$ 在 $[n,n+1)$ 上递增，$f(n)=0$，$\lim_{x\to n^-}f(x)=1/2^n$。

记 $g(x)=1/3^x+a$，$h(x)=1/2^x$。
如果 $a=0$，右边无数个交点；
如果 $a<0$，则应 $g(1)\geqslant0$ 且 $g(2)<0$；
如果 $a>0$，则应 $g(3)<h(3)$ 且 $g(4)\geqslant h(4)$。

前两点可能比较容易想，看图说话也无妨，但最后那一点就不是太显然的事了，应该要严格证明，但是说起来有点麻烦，我也不知怎么说，大概就是由 $1/2^n-1/3^n$ 是递减的正数数列可得。

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2013-2-22 14:32

5# kuing

$1/2^n-1/3^n$为递减的正数列，一句话点醒了梦中人，刚好是前三个交点。

6# hongxian

嗯，你理解了就好，那我就不用再想怎么细说了……

PS、你说是转过来的，转自哪里？给个链接或出处方便以后整理。
PS2、我编辑了一下1#将那个分段函数的正确代码写上了，你自己可以看看，对比下原来的。

7# kuing
用啥子高级软件画的图？
以前不会几何画板，现在刚学会几何画板画函数图了，又有新的出现了，
真的是防不胜防、学不胜学啊

8# yes94

Mathematica

9# kuing
我自建了一个网页（网址导航），把我常用的网址收集起来，以后鼠标直接点就进来了。
你的网站是直接进“初等论坛”，这样的坏处就是其他分论坛（例如高等数学、灌水论坛、Mathematica 等）都略过了

7# kuing

1.转自http://bbs.pep.com.cn/forum.php? ... &extra=page%3D1

2.$\LaTeX$现在还没有仔细学，主要是数学还没有学好，下次尽量不用软件转码了!边学边用!

5# kuing

练习一下代码，试着说一下$a>0$的道理

设三根分别在$[k-1,k)$，$[k,k+1)$，$[k+1,k+2)$，$k \in N^*$则
$\begin{cases}
\left(\frac{1}{2} \right)^{k-1} \leqslant \left(\frac{1}{3} \right)^{k-1} +a \\
\left(\frac{1}{2} \right)^{k} > \left(\frac{1}{3} \right)^{k} +a \\
\left(\frac{1}{2} \right)^{k+1} > \left(\frac{1}{3} \right)^{k+1} +a \\
\left(\frac{1}{2} \right)^{k+2} > \left(\frac{1}{3} \right)^{k+2} +a \\
\left(\frac{1}{2} \right)^{k+3} \leqslant \left(\frac{1}{3} \right)^{k+3} +a
\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}
a \geqslant \left(\frac{1}{2} \right)^{k-1}-\left(\frac{1}{3} \right)^{k-1}  \\
a<\left(\frac{1}{2} \right)^{k} -\left(\frac{1}{3} \right)^{k} \\
a<\left(\frac{1}{2} \right)^{k+1} - \left(\frac{1}{3} \right)^{k+1} \\
a<\left(\frac{1}{2} \right)^{k+2}- \left(\frac{1}{3} \right)^{k+2} \\
a \geqslant \left(\frac{1}{2} \right)^{k+3} - \left(\frac{1}{3} \right)^{k+3}
\end{cases}$
所以$max \left\{ \left(\frac{1}{2} \right)^{k-1}- \left(\frac{1}{3} \right)^{k-1} ，\left(\frac{1}{2} \right)^{k+3}- \left(\frac{1}{3} \right)^{k+3} \right\} \leqslant a < min \left\{ \left(\frac{1}{2} \right)^k- \left(\frac{1}{3} \right)^k , \left(\frac{1}{2} \right)^{k+1}- \left(\frac{1}{3} \right)^{k+1}, \left(\frac{1}{2} \right)^{k+2}- \left(\frac{1}{3} \right)^{k+2} \right\}$
又因为$\left\{ \left(\frac{1}{2} \right)^n- \left(\frac{1}{3} \right)^n \right\}$，$n \in N^*$为正项递减数列，
所以$\left( \frac{1}{2} \right)^4- \left( \frac{1}{3} \right)^4 \leqslant a < \left(\frac{1}{2} \right)^3- \left(\frac{1}{3} \right)^3$

11# hongxian

？？这个链接不对呀？

13# kuing

这一个http://bbs.pep.com.cn/forum.php? ... &extra=page%3D1
刚才有可能复制错了！

14# hongxian

嗯，这个链接就对了。这样看来那个题的确要选 E ……