[几何] 请教一个求面积的题

矩形$ABCD$中，$E$，$F$两点分别在$BC$，$CD$上，$\triangle ABE$，$\triangle ECF$，$\triangle FDA$的面积分别是$4,3,5$，求$\triangle AEF$的面积。

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2013-2-20 20:00

列方程到是容易算，有没有其它方法呢？

1# abababa
面积为多少？
8？

2# yes94


是的，面积是8，我是设了长宽，然后解方程算出来的，有没有更好点的方法呢？

3# abababa
就是建立方程组，不必解出具体未知数，整体代换就得到了面积8.

4# yes94

是的，不用解出来长宽，只要乘积就可以了。我是想有没有作辅助线，然后通过图形的割补这类方法解呢？看这几个数都挺整的，答案也是整数

5# abababa
但边长不是有理数，是无理数。

6# yes94
哪里找的题啊？小学？初中？

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2013-2-20 20:54

7# yes94

初中题。
不一定都是无理数才行吧？把AD换成10，其它图中出现的$\sqrt{10}$都换成1也可以的

8# abababa
那我还猜错了，

还得求出$k$来才能作图
设$BE=a_1,EC=a_2,DF=b_1,FC=b_2,\dfrac{b_1}{b_2}=k\riff a_1(b_1+b_2)=\dfrac12[b_1(a_1+a_2)+a_2b_2]=4\riff\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{k+1}{k+2}$
又\[S_{ABCD}=2S_{ADF}\dfrac{b_1}{b_1+b_2}=2S_{ABE}\dfrac{a_1}{a_1+a_2}\\\riff5k^2+2k-7=0\riff k=1,k=-1.4\]
故$E$为$CD$的中点，由图作$FG\sslash AD$交$AB,AE$于$G,H$两点，作$EP\sslash AB$交$GF$于$P$。有\[S_{AGH}=S_{EPH}\riff S_{AEF}=S_{AGF}+S_{EPF}=5+3=8\]