[不等式] 比较a,b,c的大小关系

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2011-10-18 17:59

[kuing edit]: 用代码写，自己编辑一下贴子看看是怎么打的，很简单。

已知 $a>0,a^2-2ab+c^2=0,bc>a^2$，则实数 $a,b,c$ 的大小关系为________。

首先显然 $b>0$，否则由 $a>0$ 知 $a^2-2ab+c^2>0$ 矛盾，故再由 $bc>a^2$ 知也有 $c>0$，即 $a,b,c$ 都是正数，下面可以放心用基本不等式。
\[b=\frac{a^2+c^2}{2a}\geqslant \frac{2ac}{2a}=c,\]
以及
\[bc>a^2=2ab-c^2\geqslant 2ab-bc \implies c>a,\]
由此也可见 $b,c$ 不能取等，所以 $b>c>a$