[数列] 请教：黑龙江省哈三中2012—2013学年度上学期高三学年期末考试数学试卷（理科）第12题

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2013-2-19 15:39

标准答案是D，有啥简捷的解法？谢谢！

先做了试验（或者说特殊到一般）
$a_1=1,a_2=2,a_3=\frac{1}{2},a_4=3,a_5=\frac{1}{3},a_6=\frac{3}{2},a_7=\frac{2}{3},a_8=4,a_9=\frac{1}{4}$
\[那么a_n=1+\frac{8}{11},a_{\frac{n}{2}}=\frac{8}{11}，a_{\frac{n}{2}-1}=\frac{11}{8}=1+\frac{3}{8}\]
\[a_{\frac{1}{2}(\frac{n}{2}-1)}=\frac{3}{8},a_{\frac{1}{2}(\frac{n}{2}-1)-1}=\frac{8}{3}=1+1+\frac{2}{3}\]
也即$\frac{1}{4}(\frac{1}{2}(\frac{n}{2}-1)-1)=7$
选择题似乎足够了，解答题看来还要证明$a_m=\frac{2}{3}，m=7$是唯一解.---- 不知道怎么做
似乎$a_n=1+\frac{8}{11}\riff a_{\frac{n}{2}}=\frac{8}{11}$都不够严密.----也不知道怎么做,n偶数奇数分类试下？

人教论坛里，战巡似乎解答过类似的题。。。。

首先$n\ge 2$时，$n$为偶数时，$a_n>1$；$n$为奇数时，$a_n<1$.
因为$a_n=\frac{19}{11}>1$，所以$n$为偶数。
则$a_{\frac{n}{2}}=\frac{8}{11}<1，a_{\frac{n-2}{2}}=\frac{11}{8}>1，a_{\frac{n-2}{4}}=\frac{3}{8}<1,$
   $a_{\frac{n-6}{4}}=\frac{8}{3}>1,a_{\frac{n-6}{8}}=\frac{5}{3}>1,a_{\frac{n-6}{16}}=\frac{2}{3}<1，$
   $a_{\frac{n-22}{16}}=\frac{3}{2}>1，a_{\frac{n-22}{32}}=\frac{1}{2}<1，a_{\frac{n-54}{32}}=2>1,$
   $a_{\frac{n-54}{64}}=1$
所以$\frac{n-54}{64}=1,n=118.$

感谢诸位！

$\dfrac{19}{11}=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+1}}}}$

若倒数,则下标加1;若前面加$n$,下标乘以$2^n$.

感谢Telsa的整理!正在遍历.

6# dualliot
买糕的！
原来背景是连分数？

6# dualliot
欢迎把那些链接里的未解之题，解答后回复于各贴之中

8# Tesla35

打通关

把Tesla35的id写错了.